Stat. žodynėlis I

 

Pastaba itin priekabiems matematikams.

Terminų žodynas parengtas pagal V.Čekanavičiaus ir G.Murausko
vadovėlį Statistika ir jos taikymai I. Jis orientuotas į nematematikus. Todėl neieškokite čia Latex formula — algebrų, Borelio aibių, funkcijų matumo bei tikimybinių erdvių sandaugų.

DUOMENYS

Populiacija — objektų, kurių savybės tiriamos, aibė.

Imtis — tai populiacijos dalis, kuri naudojama statistiniame tyrime.

Imties didumas – elementų skaičius imtyje.

Imtis reprezentatyvi, jei ji teisingai atspindi tiriamo kintamojo galimų reikšmių proporcijas populiacijoje.

Imties koeficientas Latex formula.
Čia Latex formula — imties didumas, Latex formula — populiacijos didumas.
Imties koeficientas apibrėžiamas tik baigtinėms populiacijoms.

Kvotinė imtis: atsižvelgus į populiacijos sandarą, iš anksto numatomos imties elementų kvotos. Pavyzdžiui, numatoma, kad imtį sudarys 80 lietuvių, 10 rusų, 7 lenkai ir 3 baltarusiai.

Proginė imtis: Į imtį įtraukiami pirmi pasitaikę populiacijos elementai.

Sisteminė imtis: Jos sudarymo principas yra toks: 1) atsižvelgus į populiacijos dydį ir numatomą pačios imties dydį, parenkamas išrinkimo žingsnis, 2) visi elementai išrikiuojami į eilę, 3) iš kelių pirmųjų elementų atsitiktiniu būdu parenkamas pirmas imties elementas,4) pasirinktu žingsniu parenkami visi likę elementai.

Sluoksninė imtis: Visa populiacija suskirstoma į sluoksnius ( stratus). Kiekviename sluoksnyje naudojamas paprastosios atsitiktinės grąžintinės imties sudarymo būdas.

Lizdinė imtis: Visa populiacija suskirstoma į panašias pagal tam tikrą požymį grupes — lizdus ( klasterius). Iš visų lizdų aibės paprastosios atsitiktinės imties būdu parenkama dalis. Į imtį pakliūna visi atrinktųjų lizdų elementai.

Paprastoji atsitiktinė grąžintinė imtis: kiekvienu imties sudarymo momentu visiems populiacijos elementams patekti į imtį galimybės yra vienodos.

Klasikinė vienodas galimybes teikianti situacija yra tokia:
1) visi populiacijos elementai sunumeruojami, 2) elementų numeriai užrašomi ant rutulių, 3) rutuliai sudedami į dėžę ir gerai sumaišomi, 4) ištraukiamas pirmas pasitaikęs rutulys, 5) elementas, atitinkantis ant rutulio užrašytąjį numerį, įtraukiamas į imtį.
Atsakymo lygisLatex formula atsakiusių į klausimą skaičius Latex formulavisų parinktų respondentų skaičius.

Kintamasis, gautas matuojant turimos savybės kiekį (skaičiuojamąjį dydį), vadinamas  kiekybiniu kintamuoju.

Kintamasis, nusakantis savybės buvimą ar nebuvimą, priklausymą vienai iš galimų kategorijų, vadinamas kokybiniu kintamuoju.

Kiekybinis kintamasis vadinamas tolydžiuoju, jei skirtumas tarp kintamojo reikšmių gali būti kiek norima mažas. Jei kiekybinio kintamojo reikšmės gali skirtis ne mažiau kaip tam tikru minimaliu pokyčiu, tai kintamasis vadinamas diskrečiuoju kintamuoju.

Kintamųjų matavimo skalės:

1)  Pavadinimų skalė.
2)  Rangų skalė.
3)  Intervalų skalė.
4)  Santykių skalė.

 Pavadinimų skalė.
Pavadinimų skalė dar vadinama  nominaliąja, arba   klasifikacine skale.  Pagal kintamojo reikšmes, gautas naudojant pavadinimų skalę  objektus galima tik klasifikuoti, t.y. priskirti  vienai ar kitai grupei.  Šioje skalėje aritmetinės  operacijos neturi prasmės.  Kintamieji, kurie matuojami pavadinimų skalėje,  vadinami  kategoriniais kintamaisiais.

Pavyzdžiai:  pašto indeksas, lytis, tautybė.

 Rangų skalė.
Rangų skalė dar vadinama  tvarkos skale.  Ši skalė naudojama tada, kai statistikas gali nustatyti  objektų tiriamo požymio, savybės skirtumus ir pagal tai juos  išrikiuoti  į eilę. Kintamieji, kurie matuojami  rangų skalėje, vadinami  ranginiais  kintamaisiais. Pagal ranginių  kintamųjų reikšmes objektus galima ne tik skirstyti į klases, bet  ir  jas sutvarkyti.

Ranginių kintamųjų pavyzdžiai:
varžybose užimtoji vieta, mokslo vardai, mokymosi lygis.

Intervalų skalė.
Matavimams naudojant  šią skalę, objektus galima ne tik klasifikuoti, tvarkyti, bet ir  kiekybiškai įvertinti skirtumus tarp klasių. Intervaliniai  duomenys visada  skaitiniai.  Skirtumas (intervalas) tarp dviejų kintamojo reikšmių rodo,  kiek daugiau ar mažiau  matuojamojo reiškinio yra viename elemente, palyginti  su kitu elementu.  Nulinis taškas intervalų skalėje yra laisvai parenkamas ir  nereiškia tiriamos savybės nebuvimo.  Intervalų skalėje dviejų  intervalų santykis nepriklauso nei nuo matavimo vienetų, nei nuo  nulinio  taško.

Intervalinių kintamųjų pavyzdžiai: temperatūros  matavimai, kalendorinis laikas, metų  skaičiavimas — nuo Romos įkūrimo, nuo Kristaus gimimo.  Intervalinius duomenis galime sudėti, atimti adauginti (padalinti) iš  skaičiaus (taigi ir vidurkinti).

Santykių skalė.
Ši skalė skiriasi nuo intervalų  skalės tik tuo, kad joje yra apibrėžta absoliuti atskaitos  pradžia,  t.y. nulinis taškas, reiškiantis  tiriamosios  savybės nebuvimą.  Santykių skalės kintamieji: ūgis,
svoris, amžius, atlyginimas, kaina, laikas.

 APRAŠOMOJI STATISTIKA

Aprašomoji statistika, tai duomenų sisteminimo ir grafinio vaizdavimo metodai. Aprašomoji statistika leidžia koncentruotai užrašyti informaciją, esančią dideliuose duomenų masyvuose. Todėl ji gali būti naudojama ir visos populiacijos duomenims apdoroti.

Išdėstyta nemažėjimo tvarka kiekybinio kintamojo duomenų eilutė    Latex formula vadinama variacine eilute.

Taigi  Latex formula, Latex formula.   Kintamojo reikšmės dažnis Latex formula — tai skaičius, nusakantis,  kiek kartų reikšmė Latex formula pasikartojo duomenyse. (Latex formula).   Kintamojo reikšmės santykinis dažnis Latex formula — tai skaičius, nusakantis, kurią statistinės eilutės dalį sudaro Latex formula (Latex formula).

Dažnių (empirinė) pasiskirstymo funkcija:

Latex formula

 Garantijų funkcija:  Latex formula

 Dažnių daugiakampis gaunamas Dekarto koordinatėse atidėtas dažnių reikšmes sujungus atkarpomis.  Daugiakampis braižomas ir santykiniams dažniams.

Grupuotiems duomenims dažniausiai braižoma  histograma, t.y. empirinės grupuotų duomenų tankio funkcijos  grafikas. Histograma braižoma taip:

1) Latex formula‘sų ašyje atidedami grupavimo intervalai,

2) kiekviename intervale braižomas stačiakampis, kurio aukštinė proporcinga pakliuvusių į intervalą reikšmių skaičiui (Latex formula).

Reikalaujama, kad visų stačiakampių plotų suma būtų lygi 1. Ordinačių (Latex formula‘kų) ašies mastelis dažniausiai skiriasi nuo Latex formula‘sų ašies mastelio (kitu atveju būtų sunkoka ką nors įžiūrėti).

Pagrindinės  duomenų padėties charakteristikos yra vidurkis, moda ir mediana, apibūdinantys duomenų “centrą”, bei kvantiliai.

Visos charakteristikos, išskyrus modą, skaičiuojamos tik kiekybiniams duomenims.

Imties vidurkis (empirinis vidurkis) Latex formula  yra visų kintamojo matavimų suma padalinta iš jų skaičiaus.  Latex formula. Grupuotiems duomenims vidurkio skaičiavimui naudojami intervalų viduriniai taškai.

Moda – dažniausiai duomenų aibėje pasikartojusi reikšmė. Pavyzdžiui, duomenų aibės 1; 1; 2; 3; 4; 5 moda Latex formula.  Jeigu visos reikšmės statistinėje eilutėje pasikartoja vienodai dažnai, sakoma, kad pasiskirstymas neturi modos. Pavyzdžiui, duomenų aibė 2,3; 2,3; 3,8; 3,8; 4,5;4,5 modos neturi.  Jeigu kelios gretimos variacinės eilutės reikšmės pasirodo vienodu dažniu ir šis dažnis yra didesnis, negu bet kuris kitas dažnis, tai moda yra šių reikšmių vidurkis. Pavyzdžiui duomenų aibės 0; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4 moda Latex formula. Gali būti kelios modos. Modą galima skaičiuoti tiek kiekybiniams tiek ir kokybiniams duomenims. Grupuotiems duomenims moda yra intervalo, į kurį pateko daugiausia duomenų, vidurinė reikšmė.

Mediana yra skaičius, už kurį 50% variacinės eilutės reikšmių yra nedidesnės ir 50% nemažesnės. Tikslesnis medianos apibrėžimas skamba taip: jeigu Latex formula nelyginis, tai mediana yra variacinės eilutės reikšmė,  atitinkanti Latex formula poziciją. Jeigu stebėjimų skaičius Latex formula lyginis, tai mediana yra  variacinės  eilutės reikšmių, atitinkančių pozicijas Latex formula ir Latex formula,  aritmetinis vidurkis. Mediana dažniausiai naudojama ranginiams duomenims ir intervaliniams — santykiniams duomenims, kuriuose yra išskirčių.

Kvartiliai

Latex formula dalija variacinę eilutę į keturias “maždaug” lygias dalis. Vienas iš kvartilių radimo metodų skamba taip: Latex formula sutampa su mediana ir dalija imtį į dvi dalis. Tuomet Latex formula  yra apatinės dalies mediana, o Latex formula yra viršutinės dalies mediana.

Triskaitis vidurkis skaičiuojamas pagal tokią formulę: Latex formula

Pagrindinės  sklaidos charakteristikos yra duomenų aibės plotis, vidutinis nuokrypis, dispersija, standartinis nuokrypis, kvartilių skirtumas ir kitimo koeficientas. Šios charakteristikos skaičiuojamos  kiekybiniams  duomenims.

Imties dispersija: Latex formula Iš apibrėžimo akivaizdu, kad dispersija visuomet neneigiama. Be to, dispersija lygi nuliui tuo ir tik tuo atveju, kai visi stebėjimai lygūs. Skaičiuojant dispersiją grupuotiems duomenims, taikoma tokia formulė: Latex formula

kur Latex formula – grupavimo intervalo ilgis, Latex formula – j-ojo grupavimo intervalo dažnis, Latex formula – j-ojo grupavimo intervalo vidurio taškas.

Imties standartinis nuokrypis gaunamas, ištraukus kvadratinę   šaknį iš dispersijos: Latex formula Standartinis nuokrypis matuojamas tais pačiais vienetais, kaip ir patys duomenys.

Kitimo koeficientas: Latex formula.

Procentinis kitimo koeficientas: Latex formula. Čia Latex formula — imties standartinis nuokrypis. Kitimo koeficientas skaičiuojamas tik santykių skalės kintamiesiems, turintiems teigiamus vidurkius: Latex formula. Kitimo koeficientas — bedimensinis dydis. Jis naudojamas, lyginant skirtingų duomenų aibių sklaidas.

Duomenų aibės plotis  Latex formula.

Kvartilių skirtumas IQRLatex formula.
Vidutinis nuokrypisLatex formula

Kokybinės įvairovės indeksas  Latex formula. Čia Latex formula – kategorijų skaičius, Latex formula – stebėjimų skaičius, Latex formula – stebėjimų skaičius Latex formula – oje kategorijoje (Latex formula – osios kategorijos dažnis).  Kokybinės įvairovės indeksas kinta nuo 0 (nėra reikšmių sklaidos)  iki 1 (maksimali reikšmių sklaida). Dažniausiai jis taikomas kokybinių duomenų sklaidai įvertinti.

Dažnių skirstinio formos charakteristikos}– tai histogramos (dažnių daugiakampio) formos charakteristikos. Jos yra dvi — ekscesas ir asimetrijos koeficientas.

Asimetrijos koeficientas: Latex formula. Čia Latex formula yra standartinis nuokrypis, o Latex formula yra centrinis empirinis 3-os eilės momentas: Latex formula. Asimetrijos koeficientas — histogramos simetrijos matas. Jeigu Latex formula, tai histograma turi teigiamą (dešiniąją) asimetriją, jeigu Latex formula — neigiamą (kairiąją) asimetriją. Histograma simetriška, kai Latex formula.

Eksceso koeficientas: Latex formula. Čia Latex formula yra standartinis nuokrypis, o Latex formula yra centrinis empirinis 4-os eilės momentas: Latex formula. Eksceso koeficientas — histogramos lėkštumo matas. Jeigu Latex formula — dažnių skirstinio grafiko viršūnė yra aukštesnė, o uodegos plonesnės nei normaliosios kreivės. Jeigu  Latex formula — dažnių skirstinio grafiko viršūnė yra žemesne, o uodegos storesnės nei normaliosios kreivės.  Jeigu Latex formula, tai dažnių skirstinio koncentracija koncentracija apie vidurkį tokia pati, kaip ir normaliosios kreivės.

Normalioji kreivė:  funkcijos Latex formula grafikas. Funkcijos Latex formula grafikas yra varpo formos ir visas juo apribotas plotas lygus vienetui. Jis yra simetriškas Latex formula atžvilgiu. Nors pati funkcija apibrėžta su visais Latex formula, bet toli nuo vidurkio funkcijos reikšmės labai mažos.  Intervale Latex formula plotas, apribotas Latex formula grafiku, priklauso, nuo Latex formula, bet nepriklauso nuo Latex formula ir Latex formula. Į kairę ir dešinę nuo vidurkio atidėjus du standartinius nuokrypius, gautu intervalu ir normaliąja kreive apribotas plotas lygus 0,9544…

Empirinė taisyklė:

Jeigu duomenų histograma yra varpo formos, tai:

1) apytiksliai 68% visų duomenų patenka į intervalą Latex formula

2) apytiksliai 95% visų duomenų patenka į intervalą Latex formula

3) beveik visi duomenys patenka į intervalą Latex formula

Standartizuotoji z-reikšmė: Latex formula. Čia Latex formula — empirinis vidurkis, Latex formula — standartinis nuokrypis.

Sąlygine išskirtimi vadinamas  duomuo, priklausantis intervalui Latex formula arba intervalui Latex formula.

Išskirtimi vadinamas duomuo, mažesnis už Latex formula arba didesnis už Latex formula.

Čebyšovo taisyklė: Nemažiau kaip Latex formula dalis  visų stebėjimų patenka į intervalą Latex formula. Čia Latex formula imties vidurkis, o Latex formula imties standartinis nuokrypis.  Atkreipiame dėmesį, kad Latex formula nebūtinai sveikas skaičius. Iš Čebyšovo taisyklės išplaukia, kad nemažiau kaip 75% visų stebėjimų paklius į intervalą Latex formula, o nemažiau kaip 88% visų stebėjimų paklius į intervalą Latex formula.

Stačiakampė diagrama grafinis suvestinės (min, Latex formula, Md, Latex formula, max) vaizdas. Stačiakampėje diagramoje yra  “dėžė” – stačiakampis, brėžiamas nuo pirmojo kvartilio Latex formula iki trečiojo kvartilio Latex formula, padalytas brūkšniu į dvi dalis ties mediana Md. (Kartais dar Latex formula‘su pažymimas vidurkio taškas). Nuo stačiakampio šono brėžiami “ūsai”,  besitęsiantys iki paskutinės neišsiskiriančios duomenų aibės reikšmės  ir didžiausios neišsiskiriančios duomenų aibės reikšmės. Išskirčių (sąlyginių išskirčių) reikšmės pažymimos specialiais simboliais.

TIKIMYBIŲ TEORIJOS ELEMENTAI

Tikimybiniu eksperimentu vadinsime tokį eksperimentą, kurio metu gali būti keletas atsitiktinių baigčių. Atliekant tikimybinį eksperimentą, negalima iš anksto pasakyti, kuri iš galimų baigčių įvyks. Atsitiktinės eksperimento baigtys vadinamos  atsitiktiniais įvykiais. Jeigu įvykiai smulkiau neskaidytini, tai jie vadinami elementariaisiais. Pvz. metamas kauliukas (tikimybinis eksperimentas), iškrito lyginis taškų skaičius — atsitiktinis įvykis, iškrito 1 taškas, 2 taškai, … — elementarieji įvykiai.

Visų elementariųjų įvykių aibė Latex formula vadinama  elementariųjų įvykių erdve. Elementarieji įvykiai žymimi simboliais Latex formula, Latex formula,…, Latex formula, o elementariųjų įvykių erdvė simboliu Latex formula. Aišku, kad Latex formula.

Būtinasis įvykis Latex formula — įvykis, kuris įvyksta, įvykus bet kuriai eksperimento baigčiai.

Negalimas įvykis Latex formula, t.y. įvykis, kuris, atliekant eksperimentą, įvykti negali. Pavyzdžiui, metant kauliuką, įvykis “iškrito nelyginis akučių skaičius, didesnis už 5″ yra negalimas.
Įvykis Latex formula yra įvykio Latex formula dalis Latex formula, jeigu įvykus įvykiui Latex formula, įvyksta ir įvykis Latex formula. Tarkime, kad metamas kauliukas, tuomet įvykis Latex formula yra įvykio Latex formula iškris nelyginis taškų skaičius Latex formula dalis.  Kiekvienas įvykis Latex formula yra būtinojo  įvykio Latex formula dalis, t.y. Latex formula. Bendruoju tikimybių teorijos atveju (kai Latex formula turi daug sudėtingesnę struktūrą, nei baigtinė elementariųjų įvykių aibė) ne kiekvienas aibės Latex formula poaibis laikomas įvykiu.
Du įvykius vadiname lygiais Latex formula, jeigu Latex formula yra Latex formula dalis, o Latex formula yra Latex formula dalis. Elementariųjų įvykių erdvėje Latex formula,  jeigu juos sudarančios elementariųjų įvykių aibės sutampa. Pavyzdžiui, metant kauliuką, įvykiai Latex formula ir Latex formulaiškris lyginis taškų skaičiusLatex formula yra lygūs.
Įvykių Latex formula ir Latex formula  sąjunga Latex formula vadinsime įvykį, kai įvyksta bent vienas iš įvykių Latex formula ir Latex formula.  Elementariųjų įvykių erdvėje Latex formula žymi įvykį, sudarytą iš elementariųjų įvykių, priklausančių bent vienam iš įvykių Latex formula ir Latex formula. Šnekamojoje kalboje įvykių Latex formula sąjungą atitinka teiginys: įvyks  Latex formula arba Latex formula.
Įvykių Latex formula ir Latex formula sankirta Latex formula vadinsime įvykį, kai kartu įvyksta abu įvykiai Latex formula ir Latex formula. Elementariųjų įvykių erdvėje įvykių Latex formula yra įvykis, sudarytas iš visų  bendrųjų elementariųjų įvykių. Šnekamojoje kalboje įvykių Latex formula sankirtą  atitinka teiginys: įvyks Latex formula ir Latex formula.
Įvykiai Latex formula ir Latex formula vadinami nesutaikomais  Latex formula,  jeigu jie negali įvykti kartu. Metant kauliuką, Latex formula ir Latex formula yra nesutaikomi. Bet koks įvykis Latex formula ir negalimas įvykis Latex formula yra nesutaikomi.
Dviejų įvykių Latex formula ir Latex formula skirtumu  Latex formula  vadinamas įvykis, kai įvyksta Latex formula, o Latex formula neįvyksta. Elementariųjų įvykių erdvėje Latex formula žymi įvykį, sudarytą iš tų Latex formula elementų, kurie nepriklauso Latex formula. Atkreipiame dėmesį, kad įvykiai Latex formula ir Latex formula vienas per kitą neišsireiškia.
Įvykis Latex formula vadinamas priešingu įvykiui Latex formula. Metant monetą, įvykis Latex formula herbas Latex formula yra priešingas įvykiui Latex formulaskaičiusLatex formula.
Daug kartų kartodami eksperimentą, stebime, kaip dažnai pasikartoja konkreti eksperimento baigtis. Jeigu šis dažnis, augant ekperimentų skaičiui, stabilizuojasi ties kažkokiu skaičiumi, tai pastarąjį skaičių ir laikome tiriamos baigties (įvykio) statistine tikimybe.  Būtina, kad: a) visi eksperimentai vyktų visiškai vienodomis sąlygomis, b) vieno eksperimento rezultatai neturėtų įtakos kito eksperimento rezultatams (eksperimentai būtų nepriklausomi). Būdingi statistinės tikimybės taikymo pavyzdžiai: Vatikane Latex formula gyventojų nevedę — tikimybė, kad atsitiktinai parinktas Vatikano gyventojas bus nevedęs 1; Latex formula tam tikros rūšies operacijų sėkmingos — tikimybė, kad operacija bus sėkminga 0,65.
Klasikinis tikimybės apibrėžimas formuluojamas tik baigtinėms elementariųjų įvykių aibėms Latex formula, kurios visi elementarieji įvykiai vienodai galimi. Įvykio Latex formula tikimybe laikysime įvykį Latex formula sudarančių elementariųjų įvykių skaičiaus santykį su visų elementariųjų įvykių skaičiumi.  Klasikinis tikimybės apibrėžimas netinka, jeigu Latex formula nėra baigtinis arba, jeigu elementarieji įvykiai nėra vienodai galimi.

Bendrasis  tikimybės apibrėžimas skamba taip: Tikimybe vadiname funkciją Latex formula, kuri kiekvienam atsitiktiniam  įvykiui Latex formula priskiria skaičių Latex formula ir

1) Latex formula,

2) Latex formula,

3) Latex formula, jeigu Latex formula, Latex formula.

Tikimybės savybės: 1) Latex formula.

2) Latex formula.

3) Latex formula.

4) Jeigu Latex formula, tai Latex formula.

5) Latex formula.

6) Bet kokiam įvykiui Latex formula teisinga lygybė Latex formula.

Tikimybė, kad įvyks Latex formula su sąlyga, kad įvyko Latex formula vadinama sąlygine tikimybe ir žymima Latex formula. Jeigu Latex formula nėra negalimas įvykis (Latex formula), tai sąlyginę tikimybę galima apibrėžti per besąlygines tikimybes. Latex formula. Tegul Latex formula, Latex formula — bet kokie atsitiktiniai įvykiai, o Latex formula. Tuomet

1) Latex formula.

2) Jeigu Latex formula, tai Latex formula.

Tikimybių daugybos teorema: Latex formula.

Įvykiai Latex formula ir Latex formula vadinami priklausomais, jeigu Latex formula. Evivalentus apibrėžimas: įvykiai Latex formula ir Latex formula priklausomi, jeigu Latex formula.   Įvykiai Latex formula ir Latex formula  nepriklausomi, jeigu Latex formula. Ekvivalentus apibrėžimas: įvykiai Latex formula ir Latex formula nepriklausomi, jeigu Latex formula. Bet koks įvykis ir būtinasis įvykis Latex formula arba negalimas įvykis Latex formula yra nepriklausomi.

Pilnosios tikimybės formulė Tegul

1)Latex formula,

2) Latex formula, Latex formula.

Tuomet Latex formula

Bajeso formulė: Tegul

1)Latex formula,

2) Latex formula, Latex formula.

Tuomet Latex formula

Tikimybės Latex formula, Latex formula, … vadinamos apriorinėmis. Tikimybės Latex formula, Latex formula,… vadinamos aposteriorinėmis tikimybėmis. Jos skiriasi nuo apriorinių tikimybių tuo, kad atsižvelgta į naują informaciją (Latex formula įvyko).

Bernulio eksperimentų schema nusakoma taip: vieną kartą atliekant eksperimentą, jo sėkmės tikimybė lygi Latex formula. Atliekame Latex formula nepriklausomų eksperimentų.    Sėkmingų Bernulio eksperimentų skaičiaus tikimybė, t.y. tikimybė, kad Bernulio schemoje eksperimentas pavyks Latex formula kartų yra lygi P(iš Latex formula bandymų Latex formula sėkmingų)=Latex formula.

Atsitiktinis dydis — tai funkcija  Latex formula R. Taigi atsitiktinis dydis nusako taisyklę pagal kurią kiekvienam atsitiktiniam įvykiui priskiriama skaitinė reikšmė. Pvz.: metama moneta (tikimybinis eksperimentas) ir skaičiuojame iškritusius herbus (atsitiktinis dydis — herbų skaičius). Atsitiktinis dydis gali įgyti 2 reikšmes (0 arba 1). Skaitinė reikšmė 0 atitinka įvykį “iškrito herbas”, skaitinė reikšmė 1 atitinka įvykį “iškrito herbas”. Atsitiktinis dydis — tai tam tikras matematinis modelis, o vienas ir tas  pats matematinis modelis gali tikti daugeliui  situacijų (eksperimentų). Tolydžioji atsitiktinio dydžio funkcija irgi yra atsitiktinis dydis.    Atsitiktinio dydžio skirstinys — tai atsitiktinio dydžio įgyjamos reikšmės su jų įgijimo tikimybėmis.

Atsitiktinio dydžio Latex formula pasiskirstymo funkcija: Latex formula

Jos savybės:

1) Latex formula.

2)Latex formula, Latex formula.

3) Latex formula nemažėjanti, t.y. Latex formula, kai Latex formula.

4) Latex formula tolydi iš dešinės.

5) Latex formula.

Atsitiktiniai dydžiai Latex formula ir Latex formula vadinami nepriklausomais, jeigu bet kokiems realių skaičių aibės poaibiams Latex formula ir Latex formula

Latex formula. Į kiekvieną skaičių (konstantą) Latex formula  galima žiūrėti kaip į tam tikrą išsigimusį atsitiktinį dydį. Pažymėtina, kad bet koks atsitiktinis dydis Latex formula ir bet kokia konstanta Latex formula yra nepriklausomi.

Atsitiktinis dydis Latex formula įgyjantis baigtinę arba skaičią reikšmių aibę vadinamas diskrečiuoju.

Atsitiktinis dydis Latex formula, kurio patekimo į intervalą Latex formula tikimybė skaičiuojama pagal formulę Latex formula vadinamas absoliučiai tolydžiuoju} dydžiu.

Funkcija Latex formula vadinama tankiu. Visos tankio funkcijos tenkina dvi savybes: jos yra neneigiamos; visas jų apribotas plotas lygus vienetui.  Absoliučiai tolydžiojo atsitiktinio dydžio paiskirstymo funkcija  ir tankis yra susiję:  Latex formula, Latex formula.   Atsitiktinio dydžio Latex formula–lygmens kvantiliu  vadinsime skaičių Latex formula, tenkinantį nelygybes: Latex formula. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui kvantilis, tai tokia Latex formula reikšmė Latex formula, kuriai: a) visa tikimybinė masė į kairę nuo jos yra mažesnė už Latex formula; b) prie tos tikimybinės masės pridėjus Latex formula įgijimo tikimybę, tikimybinė masė taps nemažesne už Latex formula. Absoliučiai tolydžiam atsitiktiniam dydžiui kvantilį galima apibrėžti lygybe: Latex formula.   Diskrečiojo atsitiktinio dydžio Latex formula vidurkis Latex formula yra reikšmių ir jų įgijimo tikimybių sandaugų suma. ELatex formula   Absoliučiai tolydžiojo atsitiktinio dydžio Latex formula su tankiu Latex formula vidurkis  Latex formula apibrėžiamas kaip integralas: Latex formula Iš vidurkio apibrėžimo matyti, kad vidurkis — tai skaičius. Jis gali būti ir teigiamas ir neigiamas, ir didesnis už vienetą ir mažesnis.

Atsitiktinio dydžio vidurkio savybės: Laikysime, kad visi vidurkiai savybėse yra baigtiniai.

 

  1.  Konstantos vidurkis lygus pačiai konstantai: Latex formula.
  2. Konstantą galima iškelti prieš vidurkio ženklą: Latex formulaLatex formula.
  3. Sumos vidurkis lygus vidurkių sumai: Latex formulaLatex formula.
  4. Jeigu Latex formula ir Latex formula nepriklausomi, tai Latex formula.
  5. Jeigu Latex formula, tai Latex formula.
  6. Latex formula  Latex formula.

 

Atsitiktinio dydžio Latex formula k-tosios eilės momentu, centriniu momentu, absoliučiuoju momentu ir centriniu absoliučiuoju momentu vadinsime: Latex formula .Galima išreikšti centrinius momentus per paprastuosius ir atvirkščiai. Pvz. Latex formula, Latex formula, Latex formula, Latex formula, Latex formula,…

Atsitiktinio dydžio Latex formula dispersija Latex formula. Skaičiavimams patogiau naudoti formulę Latex formula. Diskretiesiems ir tolydiesiems dydžiams dispersija skaičiuojama pagal formules Latex formula ir Latex formula Dispersija yra skaičius. Yra atsitiktinių dydžių, kurie dispersijų neturi.

Atsitiktiniams dydžiams, turintiems baigtines dispersijas, suformuluosime kai kurias dispersijos savybes.

  1. Dispersija visuomet neneigiama: Latex formula.
  2. Konstantos dispersija lygi nuliui: Latex formula.
  3. Konstantą galima iškelti prieš dispersijos ženklą, pakėlus kvadratu: Latex formulaLatex formula.
  4. Latex formulaLatex formula+Latex formulaLatex formulaLatex formulaLatex formula.
  5. Jeigu Latex formula ir Latex formula nepriklausomi, tai Latex formulaLatex formulaLatex formula.

Teorinis standartinis nuokrypis Latex formula.

Atsitiktinių dydžių Latex formula ir Latex formula kovariacija: Latex formula{\bf E}Latex formula.  Skaičiuoti patogiau pagal formulę: Latex formula.  Svarbiausios kovariacijos savybės yra šios:

1) Jeigu Latex formula ir Latex formula yra  nepriklausomi, tai Latex formula.

2) Latex formula.

Atsitiktinių dydžių Latex formula ir Latex formula  koreliacijos koeficientas: Latex formula .

Koreliacijos koeficiento savybės:

  1.  Jeigu Latex formula ir Latex formula yra konstantos, tai Latex formula.
  2. Koreliacijos koeficientas yra skaičius tarp -1 ir 1: Latex formula.
  3. Koreliacijos koeficientas Latex formula tada ir tik tada, kai egzistuoja konstantos Latex formula ir Latex formula tokios, kad Latex formula.
  4. Jeigu Latex formula, tai Latex formula (didesnius Latex formula atitiks didesni Latex formula), jeigu Latex formula, tai Latex formula (didesnius Latex formula atitiks mažesni Latex formula).

Koreliacijos koeficientas nematuoja netiesinės priklausomybės.

Skaitinis matas, atspindintis atsitiktinio  dydžio atsitiktinumo laipsnį vadinamas entropija. Atsitiktinio dydžio Latex formula  entropija H:

Latex formula, jeigu Latex formula diskretus;

Latex formula, jeigu Latex formula absoliučiai tolydus. Šiame apibrėžime laikom, kad

Latex formula, kai Latex formula.

Binominis skirstinys.

Tarkime, kad atliekant eksperimentą galimos tik dvi baigtys — “sėkmė” ir “nesėkmė”. Eksperimento sėkmės tikimybė Latex formula. Atliekame  Latex formula nepriklausomų  eksperimentų (t.y. turime Bernulio schemą). Sėkmių skaičius yra atsitiktinis dydis, kuris vadinamas  binominiu atsitiktiniu dydžiu. Jis žymimas Latex formula, kur Latex formula,  Latex formula – natūrinis skaičius. Binominio dydžio tikimybės nusakomos formule: Latex formula Skaitinės charakteristikos: Latex formula

Geometrinis skirstinys.

Vieną kartą daromas bandymas pasiseka su tikimybe Latex formula. Nepriklausomus bandymus kartojame tol, kol sulaukiame pirmos sėkmės. Atsitiktinis dydis Latex formula — bandymų skaičius iki pirmos sėkmės. Sakysime, kad Latex formula turi geometrinį skirstinį. Geometrinio skirstinio tikimybės nusakomos formule: Latex formula,  Latex formula Skaitinės charakteristikos: Latex formula

Puasono skirstinys dar vadinamas retų įvykių skirstiniu. Jis priklauso nuo vieno parametro Latex formula ir žymimas Latex formula. Puasono skirstinio tikimybės nusakomos formule: Latex formula Skaitinės charakteristikos: Latex formula

Hipergeometrinis skirstinys. Turime Latex formula objektų, jų tarpe Latex formula žymėtų. Atsitiktinai išrenkame Latex formula objektų. Žymėtųjų objektų skaičius išrinktųjų tarpe yra atsitiktinis dydis, turintis hipergeometrinį skirstinį. Hipergeometrinis skirstinys žymimas Latex formula. Jo tikimybės nusakomos formule: Latex formula  Latex formula. Skaitinės charakteristikos: Latex formula

Tolygusis skirstinys. Sakysime, kad Latex formula turi tolygųjį skirstinį intervale Latex formula, jei jo tankis Latex formula. Skaitinės charakteristikos: Latex formula.

Eksponentinis skirstinys. Sakysime, kad Latex formula turi eksponentinį skirstinį su parametru Latex formula, jei jo tankis Latex formula  Skaitinės charakteristikos: Latex formula

Standartinis normalusis skirstinys. Sakysime, kad atsitiktinis dydis Latex formula turi standartinį normalųjį skirstinį, jei jo tankis Latex formula  Jis žymimas Latex formula.  Standartinio normaliojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija: Latex formula Tankis Latex formula simetrinis, todėl Latex formula. Standartinio normalaus skirstinio skaitinės charakteristikos: Latex formula

Normalusis skirstinys. Sakysime, kad atsitiktinis dydis turi normalųjį skirstinį su parametrais Latex formula, Latex formula, jei jo tankis Latex formula Jis žymimas Latex formula. Normaliojo skirstinio Latex formula  skaitinės charakteristikos: {\bf E}Latex formula,\quad {\bf D}Latex formula. Std. nuokrypis Latex formula.  Normalusis skirstinys dar vadinamas Gauso skirstiniu.  Jeigu Latex formula, tai Latex formula ir Latex formula Latex formula Latex formula kur Latex formula yra standartinio normaliojo dydžio pasiskirstymo funkcija. Formulėse negriežtas nelygybes galima pakeisti griežtomis.

Latex formula (“chi-kvadrat”) skirstinį  su Latex formula laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis: Latex formula, kur Latex formula yra nepriklausomi, standartinį normalųjį skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai, Latex formula. Latex formula skirstinio skaitinės charakteristikos: Latex formula.

Stjudento skirstinys. Stjudento t-skirstinį su  Latex formula laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis: Latex formula. Čia Latex formula yra nepriklausomi, standartinį normalųjį skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai, Latex formula. Skaitinės charakteristikos: Latex formula.

Fišerio skirstinys.{ Fišerio} skirstinį su Latex formula ir Latex formula laisvės laipsniais turi atsitiktinis dydis: Latex formula Formulėje Latex formula, Latex formula yra nepriklausomi, standartinį normalųjį skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai, Latex formula. Skaitinės charakteristikos: Latex formula.

Čebyšovo nelygybė: tegul Latex formula atsitiktinis dydis, turintis baigtinę dispersiją Latex formula. Tuomet kiekvienam fiksuotam Latex formula teisinga nelygybė: Latex formula Kartais naudojama ekvivalenti nelygybės forma: Latex formula. Čia Latex formula.

Didžiųjų skaičių dėsnio} variantas: Tegul Latex formula, Latex formula,…, Latex formula yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai, turintys vidurkį Latex formula ir dispersiją Latex formula. Tuomet kiekvienam fiksuotam Latex formula galios Latex formula Didžiųjų skaičių dėsnis iš esmės teigia, kad dideliam nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių dydžių skaičiui labai tikėtina, kad jų aritmetinis vidurkis mažai skirsis nuo tikrojo vidurkio (tikimybė, kad skirtumas bus didesnis už Latex formula yra maža).

Centrinė ribinė teorema. Tegul Latex formula, Latex formula,…,Latex formula yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai, turintys vidurkius Latex formula, ir dispersijas Latex formula. Tuomet Latex formula. Čia Latex formula yra standartinio normaliojo dydžio pasiskirstymo funkcija.

STATISTINĖS IŠVADOS

Atsitiktinė imtis. Tarkime, kad Latex formula kartų matuojame atsitiktinį dydį Latex formula. Tuomet atsitiktinę imtį sudaro atsitiktinis vektorius Latex formula, kurio visi atsitiktiniai dydžiai a) nepriklausomi, b) vienodai pasiskirstę ir turintys tą patį kaip ir matuojamas dydis Latex formula skirstinį. Atsitiktinės imties funkcija vadinama statistika.

Taškinis įvertinys. Statistika, kuri naudojama nežinomam populiacijos parametrui Latex formula  įvertinti, vadinama Latex formula  taškiniu įvertiniu ir žymima Latex formula. Nežinomas parametras yra skaičius.  Parametro ivertinys yra atsitiktinis dydis. Įvertinio realizacija=ivertis yra skaičius, randamas konkrečiai imties realizacijai. Įvertinys (angl. estimator) – statistika (funkcija) naudojama populiacijos parametrams ivertinti.       Įvertis (angl. estimate) — įvertinio reikšmė, gauta kaip įvertinimo rezultatas.

Parametro įvertinys vadinamas pagrįstuoju (suderintuoju) jei kiekvienam fiksuotam Latex formula Latex formula.

Parametro įvertinys vadinamas nepaslinktuoju jeigu Latex formula.

Tegul Latex formula ir Latex formula yra nepaslinktieji Latex formula įvertiniai. Tuomet Latex formula yra  efektyvesnisLatex formula, jeigu  Latex formula.

Tegul Latex formula ir Latex formula dvi tokios statistikos, kad Latex formula Intervalas Latex formula vadinamas parametro Latex formula pasikliautinuoju intervalu. Skaičius Latex formula vadinamas pasikliovimo lygmeniu. Tradiciškai pasikliovimo lygmenys yra 0,9;0,95;0,99.

Statistinė (parametrinė) hipotezė.  Bet koks teiginys apie populiacijos parametro(ų) reikšmę(es) vadinamas parametrine hipoteze. Statistinę parametrinę hipotezę sudaro du alternatyvūs teiginiai apie galimas parametro reikšmes. Problema formuluojama kaip spėjimas apie galimas parametro Latex formula reikšmes: Latex formula, pateikiant alternatyvą,  Latex formula.

Latex formula

Čia Latex formula – parametrinė hipotezė ( nulinė hipotezė), o Latex formula – alternatyva (alternatyvioji hipotezė). Galimos parametro reikšmės hipotezėje ir alternatyvoje negali sutapti.

Parametrinių alternatyvų rūšys.

Alternatyvos skiriamos į dvipuses: Latex formula ir vienpuses: Latex formula (arba Latex formula).    Pirmos rūšies klaida tikrinant hipotezesLatex formula atmetame, o ji teisinga.   Antros rūšies klaida tikrinant hipotezes: Latex formula priimame, o ji klaidinga.

Statistinis kriterijus. Taisyklė, pagal kurią iš imties rezultatų darome išvadą apie  hipotezės teisingumą ar klaidingumą.

Kriterijaus reikšmingumo lygmuo Latex formula: Latex formula atmetameLatex formula, o Latex formula teisinga.

Kritinė sritis. Aibė į kurią patekus taikomo kriterijaus statistikos realizacijai nulinė hipotezė Latex formula atmetama.    Ryšys tarp kritinės srities ir reikšmingumo lygmens. Jeigu kriterijuje naudojama statistika Latex formula yra absoliučiai tolydus atsitiktinis dydis, tai kritinę sritį Latex formula ir reikšmingumo lygmenį Latex formula sieja tokia priklausomybė: Latex formula, o Latex formula.

Kriterijaus galia Latex formula — tai tikimybė atmesti hipotezę Latex formula, kai ji klaidinga: Latex formula atmetame Latex formula, o Latex formula klaidinga Latex formula, o Latex formula. Taigi Latex formula antros rūšies klaida).

Galingesnis kriterijus yra tas, kurio Latex formula didesnis, esant tam pačiam reikšmingumo lygmeniui.