1. Orbitų mechanika

Orbitų mechanika nagrinėja dirbtinių dangaus kūnų judėjimą. Šis mokslas yra balistikos ir dangaus kūnų mechanikos mokslų šaka, nagrinėjanti praktinius raketų ir erdvėlaivių skrydžio klausimus, nors nagrinėjant šiuos klausimus dangaus kūno kilmė nėra svarbi.

Tiek natūralūs, tiek dirbtiniai dangaus kūnai juda erdvėje veikiami visuotinės traukos (gravitacijos). Gamtinės kilmės dangaus kūnų judėjimas iš esmės priklauso tik nuo visuotinės traukos jėgos (gravitacijos). Dirbtiniai dangaus kūnai, skirtingai nuo gamtinių, tam tikromis skrydžio akimirkomis yra veikiami ir raketinių variklių sukuriamų jėgų, keičiančių jų judėjimą. Todėl natūralios kilmės dangaus kūnų judėjimą galima tik stebėti, jį apskaičiuoti, o dirbtinių – ir keisti, t. y., pagal poreikį valdyti kosminį skrydį. Nepaisant to, gravitacijos jėga visgi nulemia ir dirbtinio dangaus kūno skriejimo pobūdį. Dirbtinius dangaus kūnus, sukurtus skrydžiams erdvėje, vadinsime erdvėlaiviais. Erdvėlaivius galima suskirstyti į dvi rūšis – erdvėlaiviai, skriejantys uždaromis orbitomis (dirbtiniai palydovai) ir tarpplanetiniai erdvėlaiviai, kurių kelias prasideda Žemėje ir baigiasi kitoje planetoje arba neribotai nusitęsia į erdvės gilumą. Orbitų mechanika kilo iš teorinės astronomijos. Ji remiasi priemonėmis, sukurtomis anksčiau dangaus kūnų mechanikos šakoje.

1.1 Orbitų mechanikos uždaviniai

Visus orbitų mechanikos mokslo sprendžiamus uždavinius galima suskirstyti į šias keturias pagrindines rūšis:

1. Kosminio skrydžio planavimas, t. y., kosminio skrydžio kelio apskaičiavimas reikiamo tikslo įgyvendinimui;
2. Skrydžio kelio (trajektorijos), arba orbitos nustatymas; sprendžiant šios rūšies uždavinius, iš stebėjimų ir matavimų nustatomi erdvėlaivio skriejimo parametrai. Tai taikoma, kai, pvz., palydovas išvedamas į orbitą, ir nustačius neatitikimą nuo numatytosios, atlikti orbitos keitimo veiksmus. Pirmuosius praktinius metodus orbitai nustatyti sukūrė Johanas Karlas Frydrichas Gausas (1777-1855) XIX a. pradžioje. Mažiausiai trys stebėjimai reikalingi orbitos savybių nustatymui. Tikrovėje reikalinga atlikti daugiau stebėjimų. Nustatytos orbitos ypatybės (parametrai) yra tikslesnės, jei yra atlikta daugiau stebėjimų iš didesnės orbitos dalies;
3. Erdvėlaivio skriejimo kelio numatymas (prognozė). Šios rūšies uždaviniai sprendžia erdvėlaivio padėties radimą tam tikrą akimirką. Tai reikalinga pvz., siekiant planuoti ryšio su erdvėlaiviu seansus, kai reikia žinoti, kuomet ir kuriame taške palydovas pakils virš horizonto, kiek prabus matomas, ir kuriame taške pasislėps už horizonto;
4. Orbitos keitimas, t. y., reikiamo jėgų poveikio erdvėlaiviui apskaičiavimas, kad būtų galimai tiksliai pakeisti jo skriejimo kelią.

1.2 Empiriniai dangaus kūnų judėjimo dėsniai

Vokiečių matematikas Johanas Kepleris, remdamasis danų astronomo Tycho Brahės dangaus stebėjimų duomenimis, apie 1605 m. paskelbė garsiuosius savo dėsnius, aprašančius planetų judėjimo aplink Saulę dėsnius [Ažusienis ir kiti, 2003]:

• Pirmasis Keplerio dėsnis: kiekviena planeta skrieja aplink Saulę elipsine orbita, kurios viename iš židinių yra Saulė.
• Antrasis Keplerio dėsnis: planetos padėties vektorius per lygius laikotarpius apibrėžia lygius plotus.
• Trečiasis Keplerio dėsnis: planetų apskriejimo aplink Saulę žvaigždinių periodų kvadratai yra proporcingi jų orbitų ilgųjų pusašių kubams.

Šie dėsniai buvo empiriniai (paremti stebėjimais). Vis tik jie nepaaiškino, kodėl planetos juda būtent elipsėmis. Izaokas Niutonas 1687 m. paskelbė visuotinės traukos dėsnį ir juo remdamasis paaiškino, kodėl planetos juda būtent taip, kaip atrado Kepleris. Niutonas, matematiškai išvesdamas Keplerio dėsnius, rėmėsi šiais trimis jo vardu pavadintais dėsniais:

• Pirmasis Niutono (Inercijos) dėsnis: judantis kūnas juda pastoviu greičiu ir kryptimi, arba išlieka rimties būsenos tol, kol jo neveikia išorinė jėga.
• Antrasis Niutono (Jėgos) dėsnis: kūno greičio kitimo sparta – jo pagreitis yra proporcinga kūną veikiančiai išorinei jėgai, ir šis pagreitis yra nukreiptas jėgos veikimo kryptimi, arba `sum bb F=m bb a`.
• Trečiasis Niutono (Atoveiksmio) dėsnis: Kiekvienam veiksmui visuomet atsiranda atoveiksmis (atoveiksmio, reakcijos jėga).

1.3 Judėjimo lygtys ir jų sprendinys

Stebėjimais nustačius planetų judėjimo dėsnius, imta ieškoti matematiškai pagrįsto dėsnių išvedimo. Dangaus kūnų judėjimo uždaviniui išspręsti yra sudaroma judėjimo lygtis, kurios sprendinys yra kūno judėjimo kelias. Lygčiai sudaryti panaudoti aprašytieji Niutono dėsniai, o jos sprendimui supaprastinti – (trys) tvermės dėsniai.

1.3.1 Judėjimo lygtys

Izoliuota dviejų kūnų sistema yra pats paprasčiausias orbitų mechanikos uždavinys. Nepaisant to, tai yra pats paprasčiausias uždavinys, turintis analizinį sprendinį. Tikrovėje neįmanoma pasiekti, kad dviejų kūnų sistema būtų izoliuota – ją visuomet veikia ir kiti erdvėje esantys kūnai, taip trikdydami šios dviejų kūnų sistemos judėjimą. Jei kiti kūnai yra pakankamai nutolę nuo sistemos, arba jų masė pakankamai maža, trikdymų galima nepaisyti, o dviejų kūnų sistemą nagrinėti kaip izoliuotą sistemą. Nagrinėdami dviejų kūnų sistemą, atsiribosime nuo tų kūnų kilmės. Tegul dviejų kūnų masės yra `m_1` ir `m_2`, o jų padėties vektoriai laisvai pasirinkto nejudančio atskaitos taško atžvilgiu yra `bb r_1` ir `bb r_2` (1 Pav.). Įprastai vieno iš kūnų masė yra žymiai didesnė už kito. Tarkim, $m_1 \gg m_2$. Šis masyvesnis kūnas vadinamas centriniu sistemos kūnu. Mažesniojo kūno padėtis centrinio kūno atžvilgiu yra `bb r=bb r_2-bb r_1`. Tokių sistemų pavyzdžiai yra dirbtinis Žemės palydovas (DŽP), skriejantis aplink Žemę, arba Žemė, skriejanti aplink Saulę.

Pagal Niutono visuotinės traukos dėsnį, du kūnai, yra veikiami traukos jėgos, proporcingos tų kūnų masėms `m_1` ir `m_2`, ir atvirkščiai proporcingos atstumo tarp jų `r` kvadratui. Kadangi jėga yra nukreipta į kūnų centrą, ji vadinama centrine jėga. Traukos jėgos matematinė išraiška:

$$\mathbf{F}=\frac{Gm_1m_2}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r}\label{1-1}$$

čia `G=(6,6742 ± 0,0010) · 10^-11 "m"^3 · "kg"^-1 · "s"^-2` gravitacijos konstanta; vektorius `bb r/r` yra vienetinis vektorius, lygiagretus padėties vektoriui, jungiančiam kūnų centrus.

Antrasis Niutono dėsnis teigia, kad kūno, veikiamo išorine jėga, pagreitis `bb a=ddot bb r` yra proporcingas tai jėgai:

$$\mathbf{F}={m}_{2}\ddot{\mathbf{r}}_2={m}_{2}\mathbf{a}_2\label{1-2}$$

Sulyginus \eqref{1-1} ir \eqref{1-2}, gaunama kūno judėjimo lygtis

$${m}_{2}\mathbf{a}_2=-G{m}_{1}{m}_{2}\frac{\mathbf{r}}{{r}^{3}}\label{1-3}$$

Kadangi centrinis kūnas, pagal III Niutono dėsnį yra veikiamas lygiai tokios pat jėgos, atitinkamai užrašoma judėjimo lygtis centriniam kūnui:

$${m}_{1}\mathbf{a}_1=+G{m}_{1}{m}_{2}\frac{\mathbf{r}}{{r}^{3}}\label{1-4}$$

Mus domina kūno judėjimas centrinio kūno atžvilgiu. Siekiant gauti kūno judėjimo aplink centrinį kūną lygtį, suprastinamos lygtyse \eqref{1-3} ir \eqref{1-4} esančios atitinkamos masės ir iš \eqref{1-3} lygties atimama \eqref{1-4} lygtis. Atlikus veiksmus, gaunama antros eilės diferencialinė lygtis:

$$\mathbf{a}=\ddot{\mathbf{r}}=-\mathrm{\mu }\frac{\mathbf{r}}{{r}^{3}}\label{1-5}$$

Čia

$$\mathrm{\mu}=G\left({m}_{1}+{m}_{2}\right)\label{1-6}$$

yra standartinis gravitacijos parametras, matuojamas `"m"^3"/""s"^2`.

Lygtį \eqref{1-5} sudaro padėties vektorius ir jo antroji išvestinė pagal laiką. Lygties \eqref{1-5} sprendinys yra kūno padėties vektoriaus kitimo laike centrinio kūno atžvilgiu funkcija $\mathrm{r}=\mathrm{r}\left(t\right)$. Yra galimi keli būdai išspręsti judėjimo lygtį, ir gauti paprastą matematinę orbitos lygtį ir kitas judėjimo ypatybes, bet tik daugiausiai dviejų kūnų sistemai [Terminų bankas].

1.3.2 Judėjimo lygties sprendinys

Diferencialinės lygties \eqref{1-5} sprendiniui gauti, reikia ją integruoti šešis kartus. Lygties \eqref{1-5} sprendinys yra begalinė šeima orbitų, turinčių skirtingus dydžius, pavidalus ir kryptis. Kūno judėjimą vienareikšmiškai galima nustatyti tam tikrą akimirką išmatavus jo padėtį bei greitį, taip vienareikšmiškai apibrėžiant integravimo konstantas (pradines sąlygas). Nors šie šeši išmatuoti dydžiai nieko nepasako apie kūno orbitos geometriją, jie gali būti panaudoti kaip pradinės sąlygos skaitiškai integruojant judėjimo lygtis kompiuteriu. Dviejų kūnų sistemoje galima rasti šešias konstantas (integralus), kurių vertės nekinta, kintant kūno padėčiai ir greičiui. Trys judėjimo konstantos yra adityviosios konstantos, aprašančios tvermės dėsnius: energijos, judesio kiekio ir judesio kiekio momento. Judėjimo integralai (konstantos) yra patogūs naudoti dėl to, kad kai kurias judėjimo savybes galima sužinoti netgi neintegruojant judėjimo lygčių. Kitas galimas integralų rinkinys yra geometriniai dydžiai, aprašantys orbitą labai aiškiu būdu ir vadinamas orbitos parametrais. Sugrįšime prie jų vėliau.

1.3.3 Materialiojo taško momentai

Sprendžiant kūnų judėjimo lygtį, pasitelkiama momentų lygtis.

Žinome, kad judesio kiekio momentas (kitaip, sukimo impulsas) yra vektorius, lygus vektorinei padėties ir judesio kiekio vektorių sandaugai

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\label{1-7}$$ Judesio kiekio momentas SI sistemoje matuojamas `"N" * "m" * "s"`.

Žinoma, kad jėgos momentas, yra tam tikro taško padėties vektoriaus, nukreipto į jėgos veikimo tašką, ir tos jėgos vektoriaus vektorinė sandauga [Terminų bankas]:

$$\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}\label{1-8}$$

Jėgos momento vektorius matuojamas `"N" * "m"`.

1.3.4 Momentų lygtis

Išdiferencijavus \eqref{1-7} pagal laiką, gauname:

$$\dot{\mathbf{L}}=\dot{\mathbf{r}}\times\mathbf{p}+\mathbf{r}\times\dot{\mathbf{p}}\label{1-9}$$

Kadangi greičio `dot bb r\=bb v` vektoriaus kryptis sutampa su judesio kiekio vektoriaus `bb p` kryptimi, o jų vektorinė sandauga lygi `0`, lygties \eqref{1-9}, dešiniosios pusės pirmasis narys išnyksta. Likęs antrasis narys išreiškia jėgos momentą \eqref{1-8} (nes `dot bb p=bb F`) ir lygtis tampa momentų lygtimi, susiejančia abu paminėtus momentus

$$\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}\label{1-10}$$

1.3.5 Judesio kiekio tvermės dėsnis

Įrodysime, kad kūno, skriejančio aplink centrinį kūną, judesio kiekio momentas yra pastovus. Lygtį \eqref{1-7} galime išreikšti taip:

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}=\mathbf{r}\times{m_2}\mathbf{v}={m}_{2}\mathbf{r}\times \dot{\mathbf{r}}\label{1-11}$$

Traukos jėga, veikianti materialųjį tašką yra nukreipta išilgai padėties vektoriaus. Kadangi jėga yra centrinė, jėgos momentas \eqref{1-8} yra lygus `0` (nes jėgos ir padėties vektoriai lygiagretūs), o momentų lygtis \eqref{1-10} įgyja tokį pavidalą:

$$\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}=0\label{1-12}$$

Tai reiškia, kad judesio kiekio momentas jėgų centro atžvilgiu tiek moduliu, tiek ir kryptimi yra nekintantis (nes \eqref{1-12} integralas yra konstanta):

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}=\mathbf{r}\times{m}\mathbf{v}=\text{const}\label{1-13}$$

Gavome judesio kiekio momento tvermės dėsnį [Matvejev, 2003].

Kadangi judesio kiekio momentas visuomet yra statmenas judėjimo krypčiai, o jo kryptis taip pat yra nekintanti, kūno judėjimas visuomet vyksta nekintamoje plokštumoje `"P"`, statmenoje $\mathbf{L}$ (2 Pav.).

Orbitų mechanikoje įprastai naudojami santykiniai dydžiai, apibrėžiantys tam tikrų fizikinių savybių santykines vertes (kūno masės vienetui), todėl judesio kiekio momentą padalinus iš kūno masės

$$\mathbf{k}=\frac{\mathbf{L}}{m}=\mathbf{r}\times \dot{\mathbf{r}}\label{1-14}$$

gaunamas savitasis judesio kiekio momentas. Savitasis judesio kiekio momentas SI sistemoje matuojamas `"m"^2"/s"`.

Judesio kiekio momento tvermės dėsnis gaunamas ir kitu būdu. Pasinaudojus \eqref{1-12} ir \eqref{1-14}, gaunama savitojo judesio kiekio momento išvestinė laike `dot bb k=bb r xx bb ddot r`. Pasinaudojus judėjimo lygtimi \eqref{1-5}, gaunama `dot bb k= bb r xx -mu(bb r/r^3)=-(mu/r^3)bb r xx bb r=0`, nes `bb r xx bb r=0`.

Kadangi $\mathbf{L}$ yra pastovusis vektorius (nekintantis laike), tai ir $\mathbf{k}$ yra pastovusis vektorius.

1.3.6 Energijos tvermės dėsnis

Energijos tvermės dėsnis teigia, kad uždaros sistemos pilnutinė energija nekinta, tik pereina iš vienos rūšies energijos į kitą. Orbitų mechanikoje energijos mainai vyksta tik tarp kinetinės ir potencinės gravitacinio lauko energijos, tad mechaninės energijos tvermės:

$$\frac{m_2v^2}{2}+U(r)=\text{const}.\label{1-15}$$

Dydis `U(r)` yra potencinė gravitacinio lauko energija. Formulė \eqref{1-15} ne tik aprašo energijos tvermės dėsnį, bet ir dviejų skirtingų mechaninės energijos rūšių tarpusavio virtimo iš vienos į kitą sąryšį [Young ir kiti, 2011]. Čia $v$ yra kūno greitis centrinio kūno atžvilgiu.

Kadangi traukos jėga yra centrinė (t. y., nukreipta į sąveikaujančių kūnų centrus) ir potencinė, gravitacijos potencialas priklauso tik nuo atstumo tarp dviejų kūnų, o ne jų tarpusavio padėties (3 Pav.):

$$U(r)=-\frac{Gm_1 m_2}{r}.\label{1-16}$$

Gravitacijos potencialas turi energijos dimensiją ir matuojamas `"J"`.

Įstačius \eqref{1-15} į \eqref{1-16}, ir padalinus iš kūno masės `m_2`, gaunama pilnutinės savitosios mechaninės energijos išraiška:

$$h=\frac{v^2}{2}-\frac{G m_2}{r}.\label{1-17}$$

Savitoji mechaninė energija matuojama `"J/kg"`. Lygtis \eqref{1-17} yra vadinama energijos integralu.

1.3.7 Ekscentriškumo vektorius

Norint gauti dar vieną judėjimo konstantą (pastovų vektorių), imama vektorinė sandauga $\mathbf{k}\times \ddot{\mathbf{r}}$, `ddot bb r=bb a` paėmus iš \eqref{1-5} lygties:

$$\mathbf{k}\times \ddot{\mathbf{r}}=\left(\mathbf{r}\times \dot{\mathbf{r}}\right)\times \left(-\mathrm{\mu }\frac{\mathbf{r}}{{r}^{3}}\right)=\frac{-\mathrm{\mu }}{{r}^{3}}\left\lbrack \left(\mathbf{r}\cdot \mathbf{r}\right)\dot{\mathbf{r}}-\left(\mathbf{r}\cdot \dot{\mathbf{r}}\right)\mathbf{r}\right\rbrack \label{1-18}$$

Radialusis greitis yra atstumo $r$ išvestinė pagal laiką ir yra lygus materialiojo taško greičio $\dot{\mathbf{r}}$ projekcijai į padėties vektorių $\mathbf{r}$ (4 Pav.).

Pasinaudojus skaliarinės sandaugos savybėmis, gauname $\dot{r}=\mathbf{r}\cdot \dot{\mathbf{r}}/r$. Pertvarkius pastarąją išraišką, gaunama:

$$\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}}=r\dot{r}\label{1-19}$$

Taigi,

$$\mathbf{k}\times \ddot{\mathbf{r}}=-\mathrm{\mu }\left(\frac{\dot{\mathbf{r}}}{r}-\frac{\mathbf{r}\dot{r}}{{r}^{2}}\right)=\frac{d}{\mathit{dt}}\left(-\mathrm{\mu }\frac{\mathbf{r}}{r}\right)\nonumber.$$

vektorinė sandauga taip pat gali būti išreikšta taip:

$$\mathbf{k}\times \ddot{\mathbf{r}}=\frac{d}{\mathit{dt}}\left(\mathbf{k}\times \dot{\mathbf{r}}\right)\nonumber.$$

Kadangi $\mathbf{k}$ yra pastovus, nuo laiko nepriklausantis vektorius.

Sulyginus pastarąsias lygtis ir perkėlus narius į kairę pusę, gaunama

$$\frac{d}{\mathit{dt}}\left(\mathbf{k}\times \dot{\mathbf{r}}+\mathrm{\mu }\frac{\mathbf{r}}{r}\right)=0\nonumber,$$

o kadangi išvestinė pagal laiką lygi `0`, tai

$$\mathbf{k}\times \dot{\mathbf{r}}+\mathrm{\mu }\frac{\mathbf{r}}{r}=\text{const}=-\mathrm{\mu }\mathbf{e}\label{1-20}.$$

Kadangi $\mathbf{k}$ yra statmenas orbitos plokštumai, $\mathbf{k}\times \dot{\mathbf{r}}$ taip pat turi būti šioje plokštumoje. Kadangi vektorius $\mathbf{e}$ yra sudėtinis dviejų vektorių, esančių orbitos plokštumoje, vektorius, $\mathbf{e}$ taip pat yra šioje plokštumoje. Vėliau bus parodyta, kad ekscentriškumo vektoriaus `bb e` pradžia sutampa su centrinio kūno masės centru ir jis yra nukreiptas į tašką, kuriame kūnas yra arčiausiai centrinio kūno (pericentre). Jei centrinis kūnas yra Žemė, šis taškas vadinamas perigėjumi, o jei Saulė – periheliu.

1.3.8 Pirmojo Keplerio dėsnio išvedimas. Orbitos lygtis

Pirmasis Keplerio dėsnis teigia, kad visos planetos juda elipsinėmis orbitomis, o viename iš elipsės židinių yra Saulės centras. Bendru atveju planetas galima pavadinti kūnais, o už juos daug sunkesnį kūną - centriniu kūnu. Norint įrodyti šį teiginį matematiškai, reikia rasti kosminio kūno orbitos lygtį. Skaičiavimus patogu atlikti polinėje koordinačių sistemoje, kurios plokštuma sutampa su orbitos plokštuma. Kadangi $\mathbf{e}$ yra pastovusis vektorius, esantis orbitos plokštumoje, viena atskaitos sistemos ašių sutapatinama su šio vektoriaus kryptimi. Ženklu $f$ pažymimas kampas tarp kūno padėties vektoriaus $\mathbf{r}$ ir $\mathbf{e}$. Kampas $f$ vadinamas tikrąja anomalija. Kampai, išmatuoti nuo pericentro taško vadinami anomalijomis, kad būtų atskiriami nuo ilgumų, matuojamų nuo kito atskaitos taško.

Pirmiausia išreiškiami energijos \eqref{1-17} ir judesio kiekio \eqref{1-14} tvermės dėsnius polinėje koordinačių sistemoje. Tam elementarus poslinkis išskaidomas į dvi dedamąsias (5 Pav.) `dr_f` ir `dr_r`. Pirmoji poslinkio dedamoji rodo poslinkį, atsiradusį dėl kampo `f` pokyčio, o sekanti – kūno atstumo iki centrinio kūno pokytį. [Medeišis, 2003]

Vienetinis vektorius, nukreiptas statmenai spinduliui `r` kampo `f` didėjimo kryptimi pažymimas `bb e_f`, o spindulio didėjimo kryptimi – `bb e_r`. Tuomet nykstamai mažas poslinkis polinėse koordinatėse yra lygus

$$d\mathbf{r}=\mathbf{e}_f rdf+\mathbf{e}_rdr\label{1-21}$$

Padalinus abi \eqref{1-21} lygties puses iš nykstamai mažo laiko pokyčio, randamas taško judėjimo greitis

$$\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{e}_f r\frac{df}{dt}+\mathbf{e}_r\frac{dr}{dt}=\mathbf{e}_f v_f+\mathbf{e}_r v_r.\label{1-22}$$

Čia `v_f=r dot f`, `v_r=dot r`. Pakėlus lygties \eqref{1-22} abi puses kvadratu, ir žinant, kad tarpusavy statmenų vektorių `bb e_f` ir `bb e_r` skaliarinė sandauga yra lygi 0, greičio kvadrato polinėje koordinačių sistemoje išraiška tampa

$$v^2=v_f^{2}+v_r^2=r^2\dot{f}^2+\dot{r}^2.\label{1-23}$$

Pasinaudojus judesio kiekio momento tvermės dėsniu \eqref{1-13}, polinėse koordinatėse absoliutus `L` dydis yra

$$L=m r^2\dot f=\text{const}\label{1-24}$$

Energijos tvermės dėsnis \eqref{1-17}, pasinaudojant \eqref{1-23} tampa

$$\frac{m_1v^2}{2}-G\frac{m_1 m_2}{r}=\frac{m_1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{f}^2)-G\frac{m_1 m_2}{r}=\text{const}.\label{1-25}$$

Gavosi dvi lygtys \eqref{1-24} ir \eqref{1-25}, į kurias įeina dvi nežinomos funkcijos: `r(t)` ir `f(t)`. Jų pakanka aprašyti kūno judėjimą. Pirmojo Keplerio dėsnio gavimui svarbus ne kūno padėties kitimas laike, o judėjimo kelias (trajektorija), todėl iš lygčių pašaliamos priklausomybės nuo laiko. Pertvarkius lygtį \eqref{1-24} ir išreiškus `dot phi` ir įstačius į \eqref{1-25}, pašalinamas `dot f` narys. Toliau, tariama, kad `r` kitimas laike yra sudėtinga laiko funkcija `r(t)=r[f(t)]`. Sprendinio užrašymo patogumui, įvedamas papildomas kintamasis, vadinamas orbitos kreiviu

$$\rho=\frac{1}{r}\label{1-26}$$

Atlikus pertvarkymus, gaunama, kad

$$(\frac{d\rho}{df})^2+\rho^2-G\frac{2m_1^2 m_2}{L^2}\rho=\text{const}.\label{1-27}$$

Diferencijuojant šią lygtį pagal kampą `f`, gaunama

$$\frac{d^2\rho}{df^2}+\rho=C,\label{1-28}$$

kur `C=G(m_1^2m_2)/L^2>0`. Bendras lygties \eqref{1-28} sprendinys yra

$$\rho=C+A\cos{f}+B\sin{f},\label{1-29}$$

kur `A` ir `B` - dydžiai, vienareikšmiškai nustatomi iš pradinių sąlygų.

įvedus naujus kintamuosius `p=1/C=L^2/Gm_1^2m_2` ir `e=\sqrt{A^2+B^2}/C`, \eqref{1-29} įgauna paprastą žinomą pavidalą: $$r=\frac{p}{1+e\cos{f}}.\label{1-30}$$

Ši lygtis yra apibendrinta kūgio pjūvio (6 Pav.) lygtis polinėje koordinačių sistemoje [Matvejev, 2003].

Vektoriaus $\mathbf{e}$ ilgis $e=|\mathbf{e}|$ apibūdina kūgio pjūvio ekscentriškumą. Nuo ekscentriškumo dydžio priklauso orbitos pavidalas (7 Pav.):

kai $e=0$, orbita yra apskritimas,

kai $0< e< 1$, orbita yra elipsė,

kai $e=1$, orbita yra parabolė,

kai $e> 1$, orbita yra hiperbolė,

Nagrinėdami \eqref{1-30}, galime pastebėti, kad $r$ būna mažiausias, kuomet $f=0$, t. y., vektoriaus $\mathbf{e}$ kryptimi. Taigi $\mathbf{e}$ yra nukreiptas pericentro (orbitos taško, artimiausio orbitos kreivės židinio taškui) kryptimi.

1.3.9 Antrojo Keplerio dėsnio išvedimas

Antrasis Keplerio dėsnis teigia, kad planetos ar kito kosminio kūno padėties vektorius per lygius laikotarpius apibrėžia lygius plotus. Šis Keplerio dėsnis tiesiogiai išvedamas iš judesio kiekio momento tvermės dėsnio. Lygtį \eqref{1-14} galima perrašyti ir kiek kitu pavidalu

$$\mathbf{r}\times{d\mathbf{r}}=\mathbf{k}dt\label{1-31}$$

Kaip parodyta (8 Pav.), vektorinės sandaugos `bb r xx d bb r` modulis yra lygus dvigubam trikampio, sudaryto iš vektorių `bb r` ir `d bb r`, plotui

$$\left |\mathbf{r}\times{d\mathbf{r}}\right |=\left | \mathbf{r} \right |\left | d\mathbf{r} \right |\sin(\widehat{\mathbf{r}, d\mathbf{r}})=r dr \sin{\alpha}=r dh=2dS\label{1-32}$$

Vektorinė sandauga `bb r xx d bb r` yra statmena plokštumai, kurioje yra vektoriai `bb r` ir `d bb r`. Paviršiaus elemento plotas išreiškiamas `d S=1/2 |bb r xx d bb r|`, ir judesio kiekio tvermės dėsnis \eqref{1-14} įgauna pavidalą

$$dS=\frac{L}{2m}dt=\frac{k}{2}dt\label{1-33}$$

Kadangi `L="const"`, integruojant abi \eqref{1-33} puses pagal laiką, gaunama

$$\Delta S=\frac{L}{2m}\Delta t=\frac{k}{2}\Delta t\label{1-34}$$

Tai ir yra matematinė antrojo Keplerio dėsnio išraiška. Lygtis \eqref{1-34} vadinama plotų integralu.

1.3.10 Trečiojo Keplerio dėsnio išvedimas

Suintegravus \eqref{1-33} per vieną pilną periodą, gaunama:

$$\underset{\text{orbitos elipsė}}{\int }\mathit{dA}=\frac{1}{2}k\underset{0}{\overset{P}{\int }}\mathit{dt}\label{1-35}$$

Kur $P$ yra orbitos apskriejimo periodas. Kadangi elipsės (7 Pav., a) plotas yra

$$\mathrm{\pi}\mathit{ab}=\mathrm{\pi}{a}^{2}\sqrt{\left(1-{e}^{2}\right)}\label{1-36}$$

kur $a$ ir $b$ yra didysis ir mažasis pusašiai, o $e$ ekscentriškumas, gaunama

$$\mathrm{\pi }{a}^{2}\sqrt{\left(1-{e}^{2}\right)}=\frac{1}{2}\mathit{kP}.\label{1-37}$$

Norint gauti vektoriaus $\vec{k}$ ilgį, energijos integralas $h$ įstatomas kaip didžiojo pusašio funkcija (6-16) į (6-13) ir gaunama

$$k=\sqrt{\left(G\left({m}_{1}+{m}_{2}\right)a\left(1-{e}^{2}\right)\right)}.\label{1-38}$$

Įstačius pastarąją lygtį į \eqref{1-37}, gaunamas orbitos apskriejimo periodas pakeltas antruoju laipsniu

$${P}^{2}=\frac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{G\left({m}_{1}+{m}_{2}\right)}{a}^{3}\label{1-39}$$

Tai yra tiksli trečiojo Keplerio dėsnio, išreikšto iš Niutono dėsnių išraiška. Originalus dėsnio apibrėžimas buvo toks:

Dviejų planetų didžiųjų pusašių santykio kubas yra lygus tų planetų orbitų periodų santykio kvadratui.

1.4 Orbitiniai greičiai. Pabėgimo greičiai

Pati paprasčiausia stabili uždara orbita, kuria mažesnės masės kūnas juda apie centrinį kūną, yra apskritiminė orbita. Rasime apskritiminės orbitos, kurios spindulys `R`, greitį. Tai yra mažiausias greitis, kurį turintis kūnas gali skrieti aplink centrinį kūną apskritimine orbita. Šis greitis vadinamas pirmuoju kosminiu greičiu.

Orbitinis periodas $P$ yra orbitos spindulio $R$ ir orbitinio greičio ${v}_{c}$ funkcija

$$P=\frac{2\mathrm{\pi }R}{{v}_{c}}\label{1-401}$$

Įstačius į Keplerio trečiojo dėsnio matematinę išraišką \eqref{1-39} apskritiminės orbitos periodą \eqref{1-401}, gauname orbitos apskriejimo periodą

$$\frac{4\mathrm{\pi}^{2}{R}^{2}}{{v}_{c}^{2}}=\frac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{R}^{3}}{G\left({m}_{1}+{m}_{2}\right)}.\label{1-402}$$

Iš šios išraiškos gauname kūno, skriejančio apskritimine spindulio $R$ orbita, greitį ${v}_{c}$:

$${v}_{c}=\sqrt{\frac{G\left({m}_{1}+{m}_{2}\right)}{R}}\label{1-403}$$

Jei kūnas juda pakankamai greitai, jis gali įveikti centrinio kūno trauką (jei tiksliau, trauka veikia ir be galo nutolusį kūną, todėl kūnas iš tikrųjų niekada nepabėga nuo centrinio kūno įtakos, bet jis gali nutolti neribotai toli). Jei pabėgantis kūnas turi mažiausią galimą pabėgimo greitį, tai be galo nutolęs nuo centrinio kūno ribiniu atveju jis praranda visą savo greitį. Tuomet jo kinetinė energija yra lygi `0`. Kadangi kūno greitis $v=0$, o potencinė energija taip pat lygi `0` (nes atstumas $r$ yra be galo didelis). Pagal energijos tvermės dėsnį \eqref{1-17}, be galo dideliame nuotolyje pilnutinė energija, kaip ir energijos integralas $h$ yra lygūs `0`:

$$\frac{1}{2}{v}^{2}-\frac{\mathrm{\mu }}{R}=0\label{1-404}$$

Čia $R$ yra pradinis atstumas, kuriame kūnas juda greičiu $v$. Iš \eqref{1-404} gaunamas pabėgimo greitis, arba antrasis kosminis greitis (greitį parabolinės orbitos pericentre):

$${v}_{2}=\sqrt{\frac{2\mathrm{\mu }}{R}}=\sqrt{\frac{2G\left({m}_{1}+{m}_{2}\right)}{R}}\label{1-405}$$

Pavyzdžiui, kūnui įveikti Žemės traukos jėgą Žemės paviršiuje reikalingas `v_e~~11,2 "km"/"s"` greitis, o Saulės traukos jėgą Žemės orbitoje – jau `v_e~~42 "km"/"s"`.

Pabėgimo greitis gali būti išreikštas ir pasitelkus apskritiminės orbitos greitį. Į \eqref{1-405} įstačius \eqref{1-403}, gaunamas pirmojo ir antrojo kosminių greičių sąryšis

$${v}_{e}=\sqrt{2}{v}_{c}\label{1-106}$$

Pagal \eqref{1-106}, antrasis kosminis greitis yra `sqrt(2)~~1,414` karto didesnis už pirmąjį kosminį greitį.

1.5 Daugelio kūnų sistemos

Iki šiol buvo nagrinėta tik dviejų kūnų sistema. Tai yra sudėtingiausia sistema, kuriai žinomas analitinis sprendinys. Judėjimo lygtis yra lengvai apibendrinama daugelio kūnų sistemoms. Kaip ir \eqref{1-5}, galima užrašyti judėjimo lygtį kūnui $k$, $k=\mathrm{1,}\dots ,n$:

$$\ddot{\mathbf{r}}_{k}=\sum _{i=\mathrm{1,}i\ne k}^{i=n}{\mathit{Gm}}_{i}\frac{\mathbf{{r}_{i}}-\mathbf{{r}_{k}}}{{\left\vert \mathbf{{r}_{i}}-\mathbf{{r}_{k}}\right\vert }^{3}}\label{1-150},$$

kur ${m}_{i}$ yra m $i$–jo kūno masė, o $\mathbf{{r}_{i}}$–jo kūno padėties vektorius. Dešinėje lygties pusėje yra atstojamoji traukos jėga, sukuriamą visų kūnų, išskyrus vieną nagrinėjamą. Jei yra daugiau, nei du kūnai, šios lygties neįmanoma išspręsti analitiškai (gauti paprastos algebrinės išraiškos). Vieninteliai integralai, kurie gali būti lengvai išvesti bendriausioje formoje yra sistemos energija, judesio kiekis ir judesio kiekio momentas.

Jei visų kūnų spindulių ir greičių vektoriai yra žinomi tam tikrą akimirką, kūnų padėtys bet kurią kitą akimirką lengvai apskaičiuojamos skaitiniais metodais. Pavyzdžiui, planetų padėtys astronomijos žinynams apskaičiuojamos skaitiniais metodais.

Gali būti pasitelktas ir kitas būdas, jei vieno iš kūnų trauka yra vyraujanti (panašiai, kaip Saulės sistemoje).

Kosminių kūnų orbitos tuomet gali būti apskaičiuotos kaip dviejų kūnų sistemoje, o kitų kūnų trikdymai laikomi mažą poveikį turinčiais trikdymais. Šiems trikdymams aprašyti dažniausiai užtenka įskaityti kelis papildomus pirmuosius eilutės narius.

Apribotas trijų kūnų uždavinys plačiai nagrinėtas ypatingas atvejis. Jis sudarytas iš dviejų masyvių kūnų, arba pagrindinių kūnų, judančių apskritomis orbitomis vienas aplink kitą, ir trečiąjį, nykstamai mažos masės kūną, judantį toje pačioje plokštumoje, kaip ir pagrindiniai kūnai. Šis kūnas negali paveikti pastarųjų kūnų judėjimo. Taigi, abiejų kūnų orbitos yra pačios paprasčiausios, ir jų padėtys tiksliai žinomos bet kurią akimirką. Uždavinio esmė yra apskaičiuoti nykštukinio kūno orbitą. Pasirodo, kad nėra paprastos išraiškos tai orbitai apskaičiuoti.

Suomių astronomas Karlas Frithiofas Sundmanas rado sprendinį trečiojo kūno orbitai, išreikštą begalinės eilutės pavidale. Eilutė konverguoja taip lėtai, kad ji neturi praktinio pritaikymo, bet kaip matematinis gavinys ji yra reikšminga, nes daugelis matematikų ilgą laiką nesėkmingai bandė išspręsti šį uždavinį.

Trijų kūnų uždavinys turi kelis įdomius sprendinius. Įrodoma, kad tam tikruose taškuose trečiasis kūnas gali likti ramybės būsenos pagrindinių kūnų atžvilgiu. Yra penki taškai, vadinami Lagranžo taškais ${L}_{1}$,…, ${L}_{5}$ (9 Pav.).

Trys iš jų yra tiesėje, kertančioje pagrindinių kūnų centrus. Šie taškai yra nestabilūs: jei kūnas bet kuriame iš šių taškų bus sutrikdytas, jis gali pabėgti. Likę du taškai (${L}_{4}$ ir ${L}_{5}$) yra stabilūs. Šie taškai kartu su pagrindiniais kūnais sudaro lygiakraščius trikampius. Juose kūnai (pvz., erdvėlaiviai, asteroidai) gali išbūti neribotai ilgai [Karttunen ir kiti, 2007].

1.6 Orbitų elementai

Dirbtiniai palydovai ir kiti kūnai aplink Žemę įprastai skrieja elipsinėmis orbitomis. Žinoma, kad jų orbita ir padėtis bet kurią akimirką vienareikšmiškai apibrėžiama 6 nepriklausomais dydžiais. Patys paprasčiausi - padėties ir greičio vektoriai (kiekvienas sudarytas iš 3 nepriklausomų dedamųjų). Orbitą galima aprašyti ir kitais dydžiais. Jų yra galo daug, bet pasirenkami patogiausi, klasikiniai dydžiai gauti matematinės analizės būdais.

Kad nustatyti orbitą, pirmiausia būtina žinoti plokštumą kurioje yra orbita. Įprastai plokštuma eina per centrinio kūno (pvz., Žemės) masės centrą. Be orbitos plokštumos, būtina žinoti apsidžių linijos (elipsės didžiosios ašies) orientaciją, o taip pat elipsės dydį ir formą. Žinant šiuos dydžius, nesutrikdyto judėjimo atveju erdvinė orbitos forma būna vienareikšmiškai apibrėžta. Norint prognozuoti palydovo padėtį orbitoje būtina žinoti pradines sąlygas, t. y., palydovo orbitą apibūdinančius dydžius tam tikrą akimirką. Visus šiuos dydžius galima vienareikšmiškai išreikšti padėties ir greičio vektoriais; šių vektorių naudojimas nėra patogus orbitos įsivaizdavimui/atvaizdavimui, todėl orbitų mechanikoje naudojami iš astronomijos paveldėti parametrai - orbitos elementai arba palydovo orbitos parametrai (10 Pav.) [NASA Orbital elements].

Norint apibrėžti orbitos parametrus, pasirenkama geocentrinė koordinačių sistema, kurios viena iš plokštumų sutampa su Žemės pusiaujo plokštuma. Šioje plokštumoje esanti ašis sutapatinama su pavasario lygiadienio kryptimi ♈ dangaus skliaute. Pavasario lygiadienio taškas ♈ yra Žemės pusiaujo plokštumos ir jos orbitos plokštumos (ekliptikos) susikirtimo linijoje; šiame Žemės orbitos taške Saulė iš pietinio pusrutulio pereina į šiaurinį pusrutulį. Erdvėlaivio orbita kerta atskaitos sistemos plokštumą dviejuose taškuose, vadinamuose mazgais (nes erdvinės kilpos su plokštuma susikirtimo gavinys yra du taškai). Orbitos kilimo mazgas yra tas, kuriame erdvėlaivis kirsdamas pusiaujo plokštumą patenka į šiaurinį pusrutulį. Priešingas mazgas, kuriame erdvėlaivis patenka iš šiaurinio į pietinį pusrutulį, vadinamas leidimosi mazgu. Tiesė, jungianti šiuos du taškus yra mazgų linija (nes dviejų plokštumų susikirtimas yra tiesė). Ši linija kerta Žemės centrą.

Pirmasis orbitos parametras – orbitos posvyris (inklinacija) `i` – yra kampas tarp atskaitos (pusiaujo) ir orbitos plokštumų. Kampas matuojamas prieš laikrodžio rodyklę žiūrint iš kilimo mazgo į leidimosi mazgą. Šis kampas kinta `0<=i<=180°` ribose. Kosmonautikoje svarbu žinoti, ar erdvėlaivis juda ta pačia kryptimi (pirmyneigis judėjimas), kaip ir Žemės sukimasis (t. y., į rytus, šiaurės rytus, ar pietvakarius), ar priešinga kryptimi (atgalinis judėjimas). Ta pačia linkme (kaip ir Žemės sukimasis) judančių erdvėlaivių orbitos yra pasvirę `0..90°` kampu. Atgalinės orbitos būna pasvirę `90..180°` kampu. Dažniausiai palydovų orbitos yra pirmyneigės (sutampa su Žemės sukimusi), nes palydovams į jas iškelti reikia santykinai mažiau energijos. Taip pat išskirtinos polinės `i=90°` ir pusiaujinės `i=0°` arba `i=180°` orbitos.

Sekantis orbitos parametras – orbitos kilimo mazgo ilguma $\mathrm{\Omega }$ – kampas, apibūdinantis orbitos plokštumos pokrypį pavasario lygiadienio krypties atžvilgiu. Kampas $\mathrm{\Omega}$ matuojamas pusiaujo plokštumoje tarp lygiadienio krypties ir mazgų linijos prieš laikrodžio rodyklę, žiūrint šiaurės–pietų kryptimi. Šis kampas kinta `0<=Omega<360°` ribose. Orbitos posvyris ir kilimo mazgo ilguma vienareikšmiškai aprašo orbitos plokštumą geocentrinės dangaus sferos atžvilgiu.

Perigėjaus argumentas – $\mathrm{\omega }$ – yra kampas, apibūdinantis orbitos perigėjaus (arba pericentro) kryptį jos plokštumoje. Tai yra kampas orbitos plokštumoje tarp apsidžių ir mazgų linijų. Kampas gaunamas matuojant kampą tarp kilimo mazgo ir perigėjaus erdvėlaivio judėjimo kryptimi. Šis kampas kinta `0<=omega<360°` ribose. Tą pačią informaciją apie minėtas orbitos ypatybes vienareikšmiškai apibrėžia vektoriaus $\mathbf{e}$ krypties kampai (trys jos dedamosios atitinka `i`, `Omega`, `omega` dydžių rinkinį).

Orbitos didysis pusašis $a$ nusako orbitos dydį, o ekscentriškumas (ekscentriškumo vektoriaus $\vec{e}$ ilgis) `e` – jos pavidalą.

Paskutinysis orbitos parametras yra laikas $\mathrm{\tau }$, kuriame palydovas yra pradiniame orbitos taške. Pradiniu orbitos tašku dažniausiai būna perigėjus, arba kilimo mazgas.

1.7 Sutrikdytasis judėjimas

Iki šiol remtasi prielaida, kad erdvėlaivio–planetos sistema Saulės sistemoje yra izoliuota. Tokioje sistemoje erdvėlaivio orbitos kurios kryptis, kaip ir orbitos dydis ir pavidalas nekinta dangaus sferos atžvilgiu. Tikrovėje ši prielaida negalioja, nes kūnų judesį trikdo pašalinės trikdančiosios jėgos, atsiradusios dėl kitų kūnų traukos, taip palaipsniui keisdamos orbitos parametrus. Dirbtinius Žemės palydovus pirmiausia trikdo žemės nerutuliškumas, netolygus masės pasiskirstymas paviršiuje. Trikdymus sukelia ir dėl Žemės atmosferos pasipriešinimo atsiradusi stabdymo jėga, kitų kosmoso kūnų (Mėnulio, Saulės ir kt.) traukos jėga, Saulės šviesos slėgis. Vis tik jų judėjimas labai nenutolsta nuo kūgio pjūvio kreivės ir su tam tikra paklaida galima naudoti įprastus orbitos parametrus jos aprašymui. Bet tokiu atveju parametrai nebėra pastovūs; jie lėtai kinta laike [Karttunen ir kiti, 2007]. Šis reiškinys vadinamas Obskuliacija.

Orbitos trikdymai skirstomi į pastovaus veikimo ir periodinio (svyruojamojo) veikimo trikdžius. Akivaizdu, kad ilgus skrydžius labiausiai veikia pastovaus veikimo trikdymai. Pagrindiniai DŽP judėjimo trikdymų šaltiniai yra Žemės nerutuliškumas ir atmosferos pasipriešinimas.

1.7.1 Žemės nerutuliškumas

Žinoma, kad Žemės pavidalas skiriasi nuo rutulio: dėl sukimosi aplink savo ašį, Žemė yra šiek tiek suplota ties ašigaliais ir todėl savo pavidalu panašesnė į sukimo elipsoidą (11 Pav.). Mažasis elipsoido pusašis sutampa su žemės sukimosi ašimi ir lygus `b=6357" km"` . Didysis pusašis yra pusiaujo plokštumoje, o jo ilgis `a=6378" km"`. Vidutinis Žemės spindulys (rutulio, kurio tūris lygus Žemės tūriui) yra `r=6371" km"`. Tikrasis Žemės pavidalas labai sudėtingas ir negali būti aprašytas jokia žinoma matematine figūra.

Erdvėlaivis, praskriedamas pro skirtingus Žemės taškus yra veikiamas kintamo dydžio ir krypties traukos jėgos. Dėl to atsiranda trikdymai, nuolat keičiantys kilimo mazgo ir perigėjaus padėtį. Kilimo mazgo trikdys vadinamas mazgų linijos precesija. Jo metu erdvėlaivio orbitos plokštuma keičia savo erdvinę kryptį dangaus sferos (nejudančių žvaigždžių) atžvilgiu taip, kad mazgų linija lėtai sukasi (precesuoja) pusiaujo plokštumoje (lėtai kinta kilimo mazgo ilguma $\mathrm{\Omega }$). Erdvėlaiviai, judantys tiesiogine eiga (kurių `i<90°`) kilimo mazgas kiekvieną apsisukimą pasislenka vakarop, lyginant su praėjusiu. Mazgų linijos precesija priklauso nuo orbitos posvyrio kampo `i`, didžiojo pusašio `a`, ir ekscentriškumo `e`. Pvz., orbitai, kurios posvyris `i=60°`, o orbitos aukštis `h=300" km"`, mazgų linijos precesija yra `~~4°` parai. Precesija mažėja didėjant posvyriui, ir polinėje orbitoje (`i=90°`) mazgų linijos precesija išnyksta. Ši precesija mažėja aukštėjant erdvėlaivio orbitai. Ji nepriklauso nuo Žemės sukimosi aplink savo ašį. Kitas trikdys, kurį lemia Žemės paplokštumas yra apsidžių linijos precesija. Tai reiškinys, kurio metu apsidžių linija lėtai sukasi orbitos plokštumoje (lėtai kinta perigėjaus argumentas $\mathrm{\omega }$). Analizė rodo, kad esant posvyriui `i=63,4°` ši precesija išnyksta. Esant mažesniam posvyriui, perigėjus sukasi erdvėlaivio skriejimo kryptimi, esant didesniam posvyriui – priešinga kryptimi. Precesijos greitis priklauso nuo orbitos aukščio `h` ir ekscentriškumo `e`. Pavyzdžiui, kai `i=45°`, apogėjaus aukštis `h_a=300" km"`, o ekscentriškumas `e=0,1`, apsidžių linija precesuoja `~~8°` parai greičiu. Didėjant orbitos aukščiui, apsidžių linijos precesija mažėja.

1.7.2 Atmosferos pasipriešinimas

Erdvėlaiviui skrendant Žemės ar kitos dujų atmosferą turinčios planetos orbita, atsiranda nuolatiniai trikdymai dėl atmosferos pasipriešinimo. Trikdančioji pasipriešinimo jėga yra proporcinga atmosferos tankiui, palydovo greičio kvadratui, ir jo skerspjūvio, statmeno greičio vektoriui, plotui. Erdvėlaiviui skriejant pirmuoju kosminiu greičiu, skriejimas `h_a<100" km"` aukštyje yra jam pražūtingas – didžiulės mechaninės apkrovos, erdvėlaivio spartus kaitimas sukelia erdvėlaivio suirimą ir sudegimą. Didėjant aukščiui, apie `200" km"` aukštyje tampa įmanomas neilgos trukmės skrydis apskrita orbita, vadinama žemąja palydovo orbita. Bet netgi orbitos aukščiuose, kintančiuose nuo kelių šimtų km iki tūkstančių km atmosferos pasipriešinimas keičia palydovo orbitos parametrus – dėl to orbita pasidaro ne elipsinė, bet spiralinė (12 Pav.). Elipsinėse orbitose didžiausias erdvėlaivio stabdymas vyksta perigėjuje, nes jame atmosferos tankis ir erdvėlaivio greitis yra didžiausi. Tarkime, kad pirminė erdvėlaivio orbita yra ištęsta labai elipsiška orbita. Kiekvieno praskridimo pro perigėjų metu palydovas dėl stabdymo praranda dalį savo energijos. Jo pilnutinė energija `h=-GM/2a` sumažėja. Atitinkamai sumažėja ir orbitos didysis pusašis, o dėl to apogėjaus aukštis sumažėja labiau, nei perigėjaus aukštis ir orbita vis labiau tampa panaši į apskritiminę. Dėl to laikas, praleistas perigėjuje ilgėja. Trumpėjant didžiajam pusašiui, trumpėja erdvėlaivio orbitos apskriejimo periodas, o dėl to palydovo greitis ima didėti. Pagaliau, orbita tampa artima apskritiminei, o nusileidęs iki `~~100" km"` aukščio erdvėlaivis staigiai ima žemėti taip baigdamas savo skrydį.

Atmosferos pasipriešinimas yra pagrindinė priežastis, ribojanti palydovo gyvavimo orbitoje trukmę. Ji priklauso nuo orbitos parametrų, o taip pat nuo palydovo balistinio koeficiento `q=c_xA/m`, kur `c_x` – bematis aerodinaminio pasipriešinimo koeficientas, visuose orbitos aukščiuose laikomas nekintančiu ir lygiu `c_x=2,10" "– 2,15`; `A` – palydovo skerspjūvio plotas statmena skriejimo greičiui kryptimi, `"m"^2`; `m` – palydovo masė, `"kg"`.

Kiti mažesni trikdymo šaltiniai yra Saulė ir Mėnulis. Žemose orbitose jų įtaka labai maža, ir tampa pastebima esant orbitoms didesniame, nei kelių tūkstančių km aukštyje. Norint labai tiksliai apskaičiuoti orbitos parametrus ir jų kitimą, didesniame, nei `400–500" km"` aukštyje būtina įskaityti ir Saulės šviesos slėgį.

1.7.3 Saulei sinchroninė orbita

Orbitų trikdymai daugeliu atvejų yra nepageidaujamas reiškinys. Bet kartais juos galima išnaudoti naudingai.

Žemė Saulės atžvilgiu keturiais metų laikais parodyta (13 Pav.). Jei nėra trikdymo, orbitos plokštuma nekinta dangaus sferos atžvilgiu. Jei palydovas skirtas fotografuoti Žemės paviršių, pvz., pavasario ir rudens lygiadienio metu fotografavimo sąlygos yra palankiausios, nes Saulės spinduliai krenta statmenai stebimam paviršiui. Orbitos žiemos ir vasaros saulėgrįžų metu fotografavimo sąlygos prasčiausios, nes Saulės spinduliai krenta gulsčiai į stebimą paviršių. Jei orbitos plokštuma lėtai suktųsi, fotografavimo sąlygas būtų galima pagerinti. Tai būtų galima pasiekti, jei būtų galima lėtai pasukti palydovo plokštumą. Tai įmanoma pasinaudojant mazgų linijos precesiją (sukimąsį).

Esant tam tikram orbitos posvyriui, precesijos greitis gali būti `~~1°` parai, arba vienas pilnas orbitos plokštumos apsisukimas per metus [Žakov ir kiti, 1992]. Tokios orbitos vadinamos Saulei sinchroninėmis orbitomis. Norint, kad palydovo orbitos plokštumos precesija vyktų reikiama kryptimi, erdvėlaivis turi skrieti atgalinio judėjimo orbita (`i>90°`). Pvz., erdvėlaivis „PROBA2“ skrenda `~723" km"` aukščio orbita, kurios (`i=98,28°`) [Proba-2].

1.8 Orbitos valdymas

Orbitos valdymas yra tikslingas erdvėlaivio orbitos elementų keitimas, kai prireikia pakeisti orbitos aukštį, palydovo apskriejimo periodą, pakeisti apogėjaus ar perigėjaus padėtį ar pan. Tai atliekama tam tikru metu įjungus erdvėlaivio raketinį variklį, taip pakeičiant erdvėlaivio greitį arba skriejimo kryptį. Įprastai variklis įjungiamas trumpam laikui, todėl laikoma, kad greitis pakinta akimirksniu. Greičio pokytis `Delta v` dar vadinamas greičio impulsu. Veiksmai, kuomet erdvėlaivio raketinio variklio pagalba keičiami orbitos parametrai, vadinami orbitiniu manevravimu. Orbitoms prieš ir po orbitinio manevravimo atlikimo būdingos šios savybės:

• Orbitų pavidalai yra kūgio pjūviai;
• Pirminė ir galutinė orbitos kertasi bendrame taške, kuriame buvo atliktas orbitinis manevras;
• Variklio įjungimas perigėjuje pakeičia apogėjaus taško atstumą iki Žemės centro; variklio įjungimas apogėjuje pakeičia perigėjaus taško atstumą iki Žemės centro.

Įvairiais erdvėlaivio gyvavimo orbitoje etapais reikalingas orbitos parametrų pataisymas (koregavimas). Erdvėlaivio orbitos parametrų keitimas reikalingas, pvz., po paleidimo nustačius, kad jo orbita skiriasi nuo reikiamos arba ilgai būnant orbitoje dėl trikdymų pasikeitus orbitos parametrams (pvz. dėl atmosferos stabdymo pažemėjus orbitai), sugrąžinti jiems pirmines reikšmes.

Orbitos keitimas, parodytas (14 Pav.) vadinamas plokštuminiu, nes abi orbitos: pirminė `O_1` (iki keitimo) ir galutinė `O_2` yra toje pačioje plokštumoje. Kartais reikalingas ir erdvinis orbitos keitimas, kai kartu su kitais orbitos parametrais keičiamas ir orbitos plokštumos pokrypis. Vienas iš erdvinio orbitos keitimo pavyzdžių yra orbitos plokštumos posvyrio kampo `i` keitimas (15 Pav.) Tuomet greičio impulsas turi būti suteiktas bendrame senosios ir naujosios orbitų susikirtimo taške – viename iš mazgų.

Erdvėlaivio varikliai įprastai yra įtvirtinti nejudamai, todėl, orbitos keitimas vyksta dviem žingsniais. Pirmajame žingsnyje erdvėlaivis pakreipiamas taip, kad jo variklio sukuriamos traukos jėgos vektorius būtų nukreiptas reikiama kryptimi. Antrajame žingsnyje apskaičiuotame orbitos taške įjungiamas variklis, kad pakeisti erdvėlaivio greitį dydžiu `Delta v`.

1.8.1 Orbitiniai šuoliai

Orbitinis šuolis – tai toks erdvėlaivio judėjimo pakeitimas, kai žymiai skiriasi senoji ir naujoji orbitos. Galimi du atvejai: pirmuoju atveju abi orbitos turi bendrą tašką (kuomet jos persikerta arba liečiasi viena su kita) (14 Pav., 15 Pav.). Tuomet toks šuolis nuo orbitos pataisymo skiriasi tik didesniu greičio pokyčiu `Delta v`. Kitu atveju orbitos `O_1` `O_2` neturi bendrų taškų (16 Pav.).

Orbitinis šuolis atliekamas dviejų žingsnių manevru. Pirmajame žingsnyje įjungiamas raketinis variklis priverčia palydovą palikti orbitą `O_1` ir judėti tarpine orbita `TO`, dar vadinama tarpine Homano orbita (pavadinta vokiečių mokslininko Valterio Homano (Walter Hohmann), aprašiusio šį manevrą 1925 metais, garbei). Pakartotinis variklio įjungimas taške `B` priverčia palydovą pasilikti galutinėje orbitoje `O_2`. Matome, kad tokiam manevrui reikalingi du greičio pokyčiai `Delta v_1` ir `Delta v_2` taškuose `A` ir `B`. Orbitiniai šuoliai gali būti plokštuminiai, jei abidvi orbitos yra toje pačioje plokštumoje (koplanarios) ir erdviniai, jei šuolio metu keičiasi ir orbitos plokštuma. Kai kuriems palydovams iškelti į numatytąsias orbitas reikia atlikti tiek orbitos pataisymą, tiek orbitinį šuolį (ypač turintiesiems ištęstą elipsinę orbitą).

Vienas dažniausiai pasitaikančių orbitos šuolio atvejų, kai abi – orbitos apskritiminės, koncentriškos, ir yra toje pačioje plokštumoje. Vienas iš pavyzdžių yra šuolis iš mažesnio aukščio pradinės orbitos `O_1` į didesnio aukščio galutinę orbitą `O_2` (kai `R_1<R_2`) (17 Pav. a).

Pagrindinis reikalavimas tarpinei orbitai yra mažiausios energijos (ir kuro) sąnaudos, o tai reiškia ir mažiausius greičio pokyčius `Delta v_1` ir `Delta v_2`. Energijos sąnaudos bus mažiausios, jei tarpinė orbita `TO` bus elipsės lanko pavidalo (Homano tarpinė orbita), o šio lanko galai lies pirminę ir galutinę orbitas ir jei šie taškai sutampa su orbitos perigėjumi ir apogėjumi.

1.8.2 Suartėjimas, susijungimas ir grįžimas

Kiekvienas pilotuojamasis kosminis skrydis užsibaigia grįžimu į Žemę. Grįžimas skirstomas į tris žingsnius: įskriejimą į tankiuosius atmosferos sluoksnius, leidimąsi ir tūpimą ant Žemės. Daugelis nepilotuojamų erdvėlaivių taip pat grįžta į Žemę, kad pargabentų surinktus ar kosmoso sąlygų paveiktus mėginius moksliniams arba dėl kitų taikomųjų tyrimų [Žakov ir kiti, 1992].

Erdvėlaivį, esantį aukštoje orbitoje, iš esmės veikia Žemės trauka. Pažemėjus jo orbitai, jis atsiduria tankesniuose atmosferos sluoksniuose, kuriuose aerodinaminio stabdymo jėga ženkliai išauga ir erdvėlaivis imamas staigiau stabdyti. Stabdymo metu būdinga dėl oro trinties pakilusi erdvėlaivio temperatūra. Skriejimo atmosferoje metu stabdymo pagreitis palaipsniui didėja, pasiekia savo didžiausią vertę ir ima mažėti. Didžiausias stabdymo pagreitis (perkrova) priklauso nuo erdvėlaivio trajektorijos liestinės svyrio kampo. Kad perkrovos neviršytų leistinųjų, trajektorijos liestinės svyrio kampas `gamma_i` `100" km"` aukštyje neturi viršyti kelių laipsnių. Norint grąžinti erdvėlaivį, reikia atlikti stabdymo manevrą atsukus variklį skriejimo kryptimi (18 Pav.). Žinant leidimosi greitį, orbitos aukštį taške `A`, galima rasti įskriejimo į tankiuosius atmosferos sluoksnius greitį `v_i` taške `B`, ir trajektorijos liestinės svyrio kampą `gamma_i` tame erdvės taške. Taip pat galima paskaičiuoti kampą `phi_n`, apibūdinantį erdvėlaivio skrydžio nuotolį nuo stabdymo pradžios iki įskriejimo į tankiuosius atmosferos sluoksnius, o tada apskaičiuoti skriejimo atmosfera nuotolį leidimosi metu ir galutinį tūpimo tašką.

Erdvėlaivių suartėjimas ir susijungimas yra neatsiejama pilotuojamų skrydžių dalis. Pilotuojami ar krovininiai erdvėlaiviai nuolat prisijungia prie tarptautinės kosminės stoties, kad papildytų pastarosios atsargas, o savo užduotis atlikusią įgulą pakeistų naujai atvykusi kosmonautų komanda. Suartėjimas ir prisijungimas taip pat naudojamas aptarnauti ar pataisyti erdvėlaivius. Pvz., kosminis Hablo teleskopas buvo ne kartą remontuotas ir atnaujintas astronautų įgulos. Šie manevrai buvo naudojami ir skrydžių į Mėnulį metu. Erdvėlaivių suartėjimo metu siekiama, kad jie nesusidurtų neleistinu būdu, kad manevrinių variklių liepsnos nepažeistų erdvėlaivių. Suartėjimo uždavinys sprendžiamas dar iki erdvėlaivio paleidimo. Būtina parinkti paleidimo laiką taip, kad erdvėlaivio ir orbitinės stoties orbitos atsidurtų vienoje plokštumoje, o erdvėlaivis būtų iškeltas į šiek tiek žemesnę orbitą, bei būtų nutolęs nuo orbitinės stoties. Tokiu atveju žemiau esantis erdvėlaivis dėl trumpesnio orbitos periodo palaipsniui artėtų link orbitinės stoties. Skrydžio metu orbita kelis kartus nežymiai pataisoma ir abu erdvėlaiviai suartėja iki tokio atstumo, kai įsijungia susijungimą valdanti įranga, arba susijungimas atliekamas rankiniu būdu.

1.9 Tarpplanetiniai skrydžiai

Dirbtinių Žemės palydovų ir tarpplanetinių erdvėlaivių skrydžio sąlygos skiriasi iš esmės. DŽP juda veikiami iš esmės tik Žemės traukos jėgos, o jų orbitos yra uždarosios. Kitų kūnų įtaka DŽP judėjimui yra menka. Vykstant tarpplanetiniam skrydžiui, erdvėlaivis yra veikiamas kelių kūnų traukos, o jo tarpplanetinio skrydžio orbita yra atviroji. Pavyzdžiui, tarpplanetinis erdvėlaivis, skriejantis link Marso planetos, įvairiose skrydžio dalyse stipriausiai yra veikiamas šių kūnų: Skrydžio pradžioje Žemės ir Saulės, o pabaigoje Marso ir Saulės. Kaip buvo minėta anksčiau, daugelio kūnų uždavinio sprendinio analizė yra sudėtinga (Žr. 1.5 skyrių), todėl skrydžio analizei naudojama retai. Pirminei analizei pasitelkiami apytiksliai skaičiavimo metodai ir įvairios prielaidos (tokios, kaip traukos veikimo sferos, aptariamos toliau), kurių pagalba daugelio kūnų uždavinys supaprastinamas iki apytikslio dviejų kūnų artinio. Toliau bus aptarti šie apytiksliai skaičiavimo metodai, reikalingi planuojant ar nagrinėjant tarpplanetinius skrydžius. Tikslesni skaičiavimai atliekami sudėtingų algoritmų pagalba skaičiuojant kompiuteriais. Šie skaičiavimo metodai čia nebus aptariami.

1.9.1 Dangaus kūnų traukos veikimo sferos

Pagal visuotinės traukos dėsnį, du kūnai traukia vienas kitą jėga, proporcinga jų masių sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui. Nagrinėjant erdvėlaivio, esančio tarp Saulės ir Žemės elgseną, dėl jo palyginus su šiais kūnais nykstamai mažos masės laikoma, kad Saulės ir Žemės pagreičiai link erdvėlaivio yra lygūs `0`. Pasinaudojus \eqref{1-3}, užrašomas erdvėlaivio atstojamasis pagreitis, atsiradęs dėl Saulės ir Žemės traukos

$$a=\frac{GM_s}{r_1^2}+\frac{GM_ž}{r_2^2}\label{1-901}$$

Iš lygties \eqref{1-901} matosi, kad arčiau Žemės, pagreitis yra nukreiptas link Žemės, o arčiau Saulės - link Saulės. Galima teigti, kad tam tikroje erdvės dalyje Žemės trauka yra lemiama, ir galima nepaisyti Saulės traukos. Tolstant nuo Žemės, jos traukos įtaka mažėja ir lemiamą poveikį erdvėlaiviui ima daryti Saulė. Artėjant prie Marso ar kitos planetos, jos įtaka ima didėti ir tam tikrame nuotolyje ima vyrauti. Erdvėlaivio judėjimo veikiant dviems kūnams įvertinimas yra gana sudėtingas matematinis uždavinys. Uždavinį supaprastinti galima pasinaudojus traukos veikimo sferos artiniu. Pasinaudojus tuo, kas buvo išdėstyta aukščiau, galima dangaus kūnus (Žemę ir Marsą šiuo atveju) apgaubti rutuliais ir laikyti, kad šių rutulių viduje erdvėlaivis yra veikiamas tik to apgaubtojo dangaus kūno traukos jėgos. Kūno judėjimas tokioje srityje apskaičiuojamas anksčiau aptartais būdais. Žinoma, taip gaunamas tik apytikslis atsakymas, bet jo tikslumo užtenka. Traukos veikimo sfera skaičiuojama centrinio kūno atžvilgiu: planetoms – Saulės atžvilgiu; Mėnuliui – Žemės atžvilgiu. Planetos, kurios masė `m_p` traukos veikimo Saulės atžvilgiu sferos spindulys yra

$$r_p=a(\frac{m_p}{m_s})^\frac{2}{5}.\label{1-902}$$

Čia `m_s` – Saulės masė, `a` – planetos orbitos didžiojo pusašio ilgis.

Žemės traukos veikimo sferos spindulys (Saulės atžvilgiu) yra `r_ž=924000" km"`; Marso `r_m=576000" km"`.

Lentelėje pateikiami įvairių planetų TVS dydžiai Saulės atžvilgiu [Fantino, 2013].

Planeta	TVS spindulys, ×106 km	TVS spindulys planetos spinduliais
Merkurijus	0,11	46
Venera	0,61	102
Žemė	0,93	145
Marsas	0,58	170
Jupiteris	48	687
Saturnas	55	1025
Uranas	52	2040
Neptūnas	87	3525

Pažymėtina, kad planetų veikimo sferų spinduliai yra labai maži, lyginant su jų orbitų dydžiais. Pavyzdžiui, Žemės veikimo sferos spindulys tesudaro tik `~~0,6%` vidutinio Žemės orbitos spindulio dydžio.

1.9.2 Skrydis į Marsą ir Venerą

Skrydis į kitas planetas prasideda tarpplanetinės stoties iškėlimu į žemąją orbitą. Tam tikrame apskaičiuotame tokios tarpinės orbitos taške įjungiamas raketinis variklis, priverčiantis palydovą judėti tarpplanetine trajektorija. Skrydis į Marsą vyksta trimis etapais. Pirmajame erdvėlaivis skrenda Žemės traukos veikimo sferoje. Sekančiame etape skrydis vyksta Saulės traukos veikimo sferoje. Galutiniame skrydžio etape erdvėlaivis skrieja Marso traukos veikimo sferoje. Didžioji kelionės dalis vyksta Saulės traukos veikimo sferoje. Parenkama puselipsinė tarpinė (Homano) tarpplanetinio skrydžio trajektorija, nes tokiai kelionei sueikvojama mažiausios energijos (19 Pav.). Viename iš šios puselipsės židinių yra Saulė [Matvejev, 2003].

Laikant, kad Žemės ir Marso orbitos yra apskritos (nors tai ir netiskslu) ir yra toje pačioje plokštumoje, skrydis skirstomas į tris etapus. Pirmajame skrydžio etape naudojama geocentrinė koordinačių sistemą. Nešančioji raketa suteikia erdvėlaiviui hiperbolinį greitį `v_(pr1)` (20 Pav. a). Šis greitis laikomas pirmojo etapo pradiniu greičiu. Tolstant nuo Žemės, erdvėlaivio greitis mažėja, ir kertant Žemės veikimo sferą, erdvėlaivis skrenda greičiu `v_(g1)`, gautu iš Energijos tvermės dėsnio \eqref{1-17}:

$$\frac{{v_{pr1}}^2}{2}-\frac{Gm_ž}{R}=\frac{v_{g1}^2}{2}-\frac{Gm_ž}{r_{vž}}.\label{1-903}$$

Čia `R` – orbitos aplink Žemę spindulys, `r_(vž)` – žemės traukos veikimo sferos spindulys.

Nagrinėjant erdvėlaivio skrydį, antrajame etape naudojama heliocentrinė koordinačių sistema, kurioje su Žeme orbitiniu `v_{žo}=29,8"km"/"s"` greičiu juda ir Žemės traukos veikimo sfera. Jei abiejų greičių kryptys sutampa, tai antrojo etapo pradinis greitis:

$$v_{pr2}=v_{žo}+v_{g1}.\label{1-904}$$

Tarpinė orbita `AB` (19 Pav.) yra puselipsės pavidalo. Šio lanko vienas galas (esantis perihelyje) liečia Žemės planetos orbitą, o kitas (esantis afelyje) - Marso planetos orbitą. Didysis tarpinės orbitos pusašis lygus `a_t=(a_Ž+a_M)/2`. Antrojo skrydžio etapo reikiamas greičių `v_(pr2)` ir `v_(g2)` vertės randamos iš \eqref{1-17}:

$$v_{pr2}^2=GM_s(\frac{2}{a_Ž}-\frac{1}{a_t});\label{1-905}$$

$$v_{g2}^2=GM_s(\frac{2}{a_M}-\frac{1}{a_t}).\label{1-906}$$

Pasinaudojus \eqref{1-905}, \eqref{1-906}, randami pirmojo etapo greičiai `v_(pr1)` ir `v_(g1)`.

Trečiojo etapo – skrydžio Marso traukos veikimo sferoje (20 Pav. b) skaičiavimas atliekamas planetocetrinėje koordinačių sistemoje, pasinaudojant energijos tvermės dėsniu.

Matoma, kad tarpinės orbitos taške `B` erdvėlaivio greitis yra mažesnis už Marso orbitinį greitį `v_m=24,1"km"/"s"`, todėl pradinis erdvėlaivio greitis Marso traukos veikimo sferoje planetos orbitos liestinės kryptimi yra

$$v_{pr3}=v_{mo}-v_{g2}.\label{1-907}$$

Kosminio skrydžio trajektorija Marso traukos veikimo sferoje priklauso nuo greičio `v_(pr3)`. Marso traukos veikimo sferos paviršiuje parabolinis greitis yra lygus

$$v_{par}=\sqrt{\frac{2Gm_m}{r_m}}.\label{1-908}$$

Skaičiavimai rodo, kad erdvėlaivio trajektorija Marso TVS yra hiperbolinė.

Skrydžiui į Venerą, kurios orbitos spindulys `a_V<a_Ž` taške `A` būtina erdvėlaivį pristabdyti. Dėl to erdvėlaivis turi palikti Žemės TVS iš priešingos Žemės skriejimo pusės. Tai yra esminis skirtumas tarp kelionės į Marsą. Visi kiti skaičiavimai atliekami taip pat kaip ir skrydžio į Marsą planavimo metu.

1.9.3 Skrydis tikslinės planetos traukos veikimo sferoje

Skrydis planetos, į kurią pasiųstas erdvėlaivis, TVS prasideda įskriejant į šią sferą hiperboliniu greičiu. `v_(pr3)`, ir gali baigtis trejopai: erdvėlaivis gali pataikyti į planetą, praskristi šalia planetos, arba tapti planetos dirbtiniu palydovu [Žakov ir kiti, 1992]. Pataikymo į planetą sąlygos parodytos (21 Pav.). Taške `A` greičiu `v_(pr3)` įskriedamas į planetos TVS erdvėlaivis juda hiperbole `ABC`. Kad pataikytų į planetą atstumas tarp planetos centro `O` ir didžiausio priartėjimo taško `B` turi būti lygus ar mažesnis planetos spinduliui `r`. Kitaip tariant, hiperbolės trajektorija `ABC` turi kirsti arba bent liesti planetos paviršių.

Jei Marso traukos nebūtų, tomis pačiomis sąlygomis erdvėlaivis skristų asimptote `AD`, o trumpiausias atstumas iki planetos centro būtų `OF`. Šis atstumas apibrėžia pataikymo į planetą ribinį atvejį, kuomet dėl planetos traukos iškreipta trajektorija judantis erdvėlaivis vis tik pataikys į planetą. Akivaizdu, jei apskaičiuotasis nepataikymas mažesnis už `OF`, susidūrimas su planeta neišvengiamas. Atstumą `OF` galima apskaičiuoti žinant greičio `v_(pr3)` dydį ir kryptį. Susidūrimo greitis `v_B` taške `B` randamas iš energijos tvermės dėsnio \eqref{1-17}:

$$\frac{v_{pr3}^2}{2}-\frac{Gm_m}{r_{vm}}=\frac{v_{B}^2}{2}-\frac{Gm_m}{r_m}.\label{1-909}$$

Vykstant tokiam nusileidimui (vadinamam kietajam nusileidimui), dėl didžiulių mechaninių ir šiluminių apkrovų erdvėlaivis subyrėtų. Norint nusodinti erdvėlaivį minkštai, būtina sumažinti jo greitį iki saugaus. Dangaus kūnų, neturinčių atmosferos, nuleidimo atveju yra tik vienas būdas tai padaryti – raketinio stabdymo variklio įjungimas prieš pat susidūrimą. Jei dangaus kūnas turi atmosferą, galimi ir kiti stabdymo būdai: aerodinaminių paviršių, sukuriančių keliamąją jėgą ar parašiutų panaudojimas ir kt.

Sekantis atvejis – praskriejimas pro planetą hiperboline trajektorija. Jo metu erdvėlaivis hiperbolės lanku praskriejęs pro planetą palieka jos TVS (22 Pav.).

Pagal energijos tvermės dėsnį, pradinis `v_(pr3)` ir galutinis `v_(g3)` greičiai planetocentrinėje koord. sistemoje išlieka vienodi. Erdvėlaivio greitis heliocentrinėje sistemoje (kai paliekama Marso TVS, prasideda ketvirtasis skrydžio etapas) priklauso nuo Marso orbitinio greičio `v_(mo)`. Priklausomai nuo greičio `v_(g3)` dydžio ir krypties, galutinis heliocentrinis erdvėlaivio greitis gali turėti skirtingus greičius ir kryptis. Šis heliocentrinio greičio keitimo būdas (gravitacinis manevras) dažnai naudojamas tarpplanetinių skrydžių metu erdvėlaivio greičiui padidinti ir kelionės trukmei sutrumpinti.

Norint, kad erdvėlivis taptų dibtiniu planetos palydovu, praskriejimo kelio `ABC` taške `B` (23 Pav.) reikia sumažinti greičio perviršį `v_b` tiek, kad erdvėlaivis gebėtų skristi uždara elipsine arba apskritimine orbita. Sulėtėjimas dėl raketinio variklio stabdymo `Delta v` turi būti parinktas iš sąlygos `v_b-Delta v<v_(par)`, kur `v_(par)` – parabolinis greitis pasirinktame taške.

1.9.4 Paleidimo laikas

Kiekvieno erdvėlaivio iškėlimui stengiamasi kuo taupiau eikvoti raketinį kurą, todėl tarpplanetiniai skrydžiai vykdomi energetiškai taupiomis puselipsinėmis trajektorijomis. Erdvėlaivis paleidžiamas iš Žemės tarpinės orbitos taške `A`, o planetą pasitinka jau taške `B`, `180°` lanką. Pasirodo, kad tokios trajektorijos parinkimas labai riboja paleidimo laiko parinkimą. Kelionės iš Žemės į Marsą ar Venerą apytikslis laikas apskaičiuojamas iš Keplerio dėsnių [Iowa, launch window]. Šis laikas lygus elipsinės trajektorijos, kuria erdvėlaivis skrieja Saulės gravitacijos lauke ir kurios didžiojo pusašio ilgis `a_t=1/2(a_Ž+a_M)`, pusei periodo. Pasinaudojus \eqref{1-39} lygtimi, gaunamas skrydžio į Marsą periodas, lygus `t_m=259" paroms"`, o į Venerą `t_v=146" paroms"`. Tarpplanetinis erdvėlaivis ir Marso planeta turi susitikti tuo pačiu metu taške `B` (24 Pav.). Marsas, kurio orbitos periodas `T_m=687" paros"`, per laikotarpį `t_m` nukeliaus mažesnio kampo lanku – tik `((360°)/T_m)t_m=136°`. Dėl mažesnio Marso kampinio greičio, erdvėlaivio paleidimo metu Marsas savo orbitoje turi pralenkti Žemę `alpha_m=180°-136°=44°` kampu.

Skrydžio į Venerą metu, planetų tarpusavio padėtis skiriasi. Per skrydžio į Venerą laiką `t_v`, Venera, kurios orbitos periodas `T_v=225" paros"`, nukeliaus `((360°)/T_v)t_v=234°`. Tai reiškia, kad Venera paleidimo metu turi būti už Žemės `alpha_v=234°-180°=54°` (24 Pav.).

Labai svarbu, kaip dažnai pasikartoja Žemės, Marso ir Veneros tarpusavio padėtys, palankios erdvėlaivio paleidimui. Tegul Marso arba Veneros periodas būna `T_1`. Apytikslis Žemės orbitinis periodas `T=365" paros"`. Kampiniai planetų greičiai `omega_1=(360°)/T_1` ir `omega=(360°)/T`, o planetų skriejimo tarpusavio (atstojamasis) kampinis greitis yra `omega_r=omega_1-omega=(360°)/(1/T_1-1/T)`. Akivaizdu, kad ta pati planetų tarpusavio padėtis pasikartos kas `T_(sin)=360/omega_r`. Čia `T_(sin)` – laiko tarpas tarp dviejų akimirkų, kuomet planeta Žemės atžvilgiu užima tą pačią padėtį. Gauname, kad `T_(sin)=(T T_1)/(T-T_1)`. Šis dydis vadinamas sinodiniu apsisukimo periodu. Marsui jis lygus `780" paros"`, arba `26" mėnesiai"`; Venerai – `584" paros"`, arba `19" mėnesių"`. Tikrasis skrydžio į Marsą ar Venerą kelias skiriasi nuo pusiau elipsinių Homano orbitų. Jos būna šiek tiek statesnės, ir kerta Marso orbitą ne taške `B`, o `C` ar `D` (25 Pav.).

Tokiu atveju raketa nešėja turės erdvėlaiviui suteikti šiek tiek didesnį greitį, nei `v_(pr2)`, bet skrydis bus trumpesnis, ir reikės ne tokio tikslaus valdymo, kad erdvėlaivio ir planetos orbitos susiliestų. Jei skrydžiui būtų naudojama tarpinė Homano orbita, o pradinis greitis būtų bent šiek tiek mažesnis, orbitos iš viso neturės bendro taško. Parenkant skirtingus orbitų susikirtimo taškus (tarp taškų `B` ir `D`), kiekvieno palankaus laikotarpio, pasikartojančio kas `T_(sin)` metu galima ištęsti paleidimo laiką viena-dviem savaitėmis. Tokiu būdu galima paleisti ne vieną, o kelis tarpplanetinius erdvėlaivius. Šis laikotarpis vadinamas erdvėlaivio paleidimų langu. Tikrovėje skrydis į Marsą trunka apie `200" parų"`, į Venerą – `~~130" parų"`.

1.9.5 Skrydis į Mėnulį

Skrydis į Mėnulį panašus į skrydį į kitas planetas (19 Pav.). Tarkime, skrydis į Mėnulį prasideda iš karto Žemės paviršiuje (nors iš tikrųjų, kaip ir tarpplanetinių skrydžių atveju, jis prasideda iš tarpinės Žemės orbitos), o skrydžio kelias yra pusės elipsės pavidalo (Homano trajektorija). Skrydis vyksta dviem etapais. Pirmajame - Žemės TVS, o antrajame - Mėnulio TVS. Žemės TVS yra ir pats Mėnulis. Pirmojo skrydžio etape greičiai `v_(pr1)` ir `v_(g1)` randami pasitelkus \eqref{1-17} lygtį. Antrojo skrydžio etapo analizė rodo, kad Mėnulio orbitinis greitis `v_l=1" km"/"s"` yra didesnis, nei `v_(g1)` o įskridimo į Mėnulio TVS greitis `v_(pr2)=v_l-v_(g1)` kaip ir skrydžio į Marsą atveju yra hiperbolinis, ir gali užsibaigti trejopai (kaip buvo aptarta anksčiau). Norint minkštai nuleisti erdvėlaivį ant Mėnulio paviršiaus, reikia reaktyvinio variklio pagalba sulėtinti jo greitį. Tai sėkmingai buvo atlikta nepilotuojamų ir pilotuojamų skrydžių į Mėnulį metu. Optimalus (kuro sąnaudų prasme) skrydis puselipsine Homano trajektorija iki Mėnulio trunka penkias paras. Tikrovėje, kelionė trunka apie tris paras.

---

Ankstesnis: Įvadas Sekantis skyrius: Raketos ir kosminiai keltai